Prueba de la condición de tangencia en UMP

Question

Cuando una curva de indiferencia es tangente a la línea presupuestaria de forma que las preferencias son convexas y monótonas, ¿por qué el punto de tangencia es un óptimo para un UMP ?

Dada la línea presupuestaria $p_1 x + p_2 y = I$ , deja que MRS $_{xy} = \frac{p_1}{p_2}$ en algún momento $(a,b)$ . Defina el MRS como $\frac{dy(x)}{dx}$ donde $y : (a-\epsilon, a+\epsilon) \to \mathbb{R}$ para un tamaño adecuado $\epsilon > 0$ . Es decir, el CI óptimo es diferenciable alrededor del punto de tangencia, y cualquier otro punto (en este u otro CI o de $U$ puede no ser diferenciable).

Me he encontrado con esto a menudo pero no he visto ninguna prueba. Si $U$ es diferenciable en todas partes, entonces se cumple la condición de Kuhn-Tucker y el resultado se deduce. El problema es cuando cada punto no es necesariamente diferenciable, excepto en una región del CI correspondiente alrededor del punto de tangencia.

Answer 1

La prueba que sigue no es muy rigurosa -no discuto las discontinuidades- pero creo que capta bien la lógica.

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De Wikipedia :

Supongamos que $f$ es una función de una variable real definida en un intervalo, y sea $$ R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}} $$ [...] $f$ es convexo si y sólo si $R(x_{1},x_{2})$ es monotónicamente no decreciente en $x_{1}$ por cada $x_{2}$ (o viceversa).

Denotemos el punto de tangencia por $(x^*,y^*)$ y denotamos la función que describe la curva de indiferencia en el nivel $U(x^*,y^*)$ por $f$ .

Desde $U$ es diferenciable en $(x^*,y^*)$ tenemos $$ MRS(x^*,y^*) = f'(x^*). $$

Por la definición de las derivadas, tenemos, $$ f'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)-f(x^*)}{x^* + h - x^*}. $$

Utilizando el lema de Wikipedia, tenemos para cualquier $x < x^*$ $$ \frac{f(x)-f(x^*)}{x - x^*} \leq f'(x^*) $$ o $$ f(x) \geq f(x^*) + (x - x^*)f'(x^*). $$ Así, cualquier cesta $(x,y)$ en la curva de indiferencia definida por $f$ que está a la izquierda $x^*$ está por encima o en la línea tangente. Como la línea tangente coincide con la restricción presupuestaria, estas cestas son inalcanzables o apenas alcanzables. Suponiendo que los precios sean positivos, no hay cestas de mayor utilidad alcanzables, ya que eso violaría la monotonicidad.

Del mismo modo, se puede demostrar que $$ f(x) \geq f(x^*) + (x - x^*)f'(x^*) $$ también es válida para todos los $x > x^*$ por lo que las cestas en la curva de indiferencia a la derecha de $x$ también será inalcanzable o sólo alcanzable.