¿Una producción neoclásica con rendimientos constantes a escala implica el tipo de Cobb-Douglas

Question

Supongamos la función de producción neoclásica $$F(K,L)\colon [0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$$ dos veces continuamente diferenciable, es decir, F es creciente y cóncavo, es decir, $$\partial F(\bar K,\bar L) /\partial K > 0, \quad \partial F(\bar K,\bar L) /\partial L > 0,\\ \partial^2 F(\bar K,\bar L) /\partial K^2 < 0, \quad \partial^2 F(\bar K,\bar L) /\partial L^2 < 0,$$ se mantiene, es decir, $F$ tiene rendimientos decrecientes, para todos $\bar K, \bar L \in (0,\infty)$ . Además, se cumplen las condiciones de Inada, es decir, $$\lim_{K\to 0} \partial F(\bar K,\bar L)/\partial K = \infty, \quad \lim_{K\to \infty} \partial F(\bar K,\bar L)/\partial K = 0,\\ \lim_{L\to 0} \partial F(\bar K,\bar L)/\partial L = \infty, \quad \lim_{L\to \infty} \partial F(\bar K,\bar L)/\partial L = 0$$ para todos $\bar K, \bar L \in (0,\infty)$ . Finalmente $F$ produce rendimientos constantes a escala, es decir, $F$ es homogénea positiva de grado $1$ es decir, $F(\lambda K, \lambda L) = \lambda F(K,L)$ para todos $\lambda \in (0,\infty)$ y $K,L \in [0,\infty)$ .

Estoy al tanto del documento "Las condiciones de Inada implican que la función de producción debe ser asintóticamente Cobb-Douglas" de Barelli y Pessôa.

Así, las condiciones de Inada con la monotonicidad y la concavidad implican un comportamiento asintótico Cobb-Douglas de cada $F$ cumpliendo esas condiciones. Sin embargo, este argumento no impone una hipótesis de rendimientos constantes a escala.

La pregunta es: ¿Los rendimientos decrecientes + las condiciones de Inada + los rendimientos constantes a escala determinan de forma única $F$ como se indica en $$F(K,L) = c K^\alpha L^{1-\alpha}$$ con $c \in (0,\infty)$ y $\alpha \in (0,1)$ ?

Sé que sin rendimientos constantes a escala en 1D, es decir, funciones de utilidad dos veces continuamente diferenciables que son monótonas crecientes y cóncavas y cumplen las condiciones de Inada, podemos elegir dos funciones, por ejemplo $\tilde u(c)$ y $\bar u(c)$ con $\tilde u \neq \bar u$ où $\tilde u(c_0) = \bar u(c_0)$ , $\tilde u'(c_0) = \bar u'(c_0)$ y $\tilde u''(c_0) = \bar u''(c_0)$ retenciones. Entonces es la función definida a trozos $$u(c) = \begin{cases}\tilde u(c), & c \le c_0 \\ \bar u(c) & c > c_0\end{cases}$$ también monótona creciente y cóncava y cumple las condiciones de Inada (y claramente dos veces continuamente diferenciable).

De alguna manera, creo que los rendimientos constantes a escala hacen que este "truco" a trozos no funcione. Pero no he podido encontrar información sobre si estas condiciones neoclásicas en la función de producción implican el tipo Cobb-Douglas.

Answer 1

$F(K, L) = K^{\frac{1}{4}}L^\frac{3}{4}+K^{\frac{3}{4}}L^\frac{1}{4}$