Convexidad de las preferencias (definiciones diferentes)

Question

La Microeconomía Intermedia de Varian describe la convexidad como $$\text{Given } x, y \in X: x \sim y \implies \forall t \in [0,1], tx + (1-t)y \succeq x,y$$

La otra definición que he leído en todas partes es: $$\text{Given } x, y \in X: x \succeq y \implies \forall t \in [0,1], tx + (1-t) y \succeq y$$

Considere $X = \mathbb{R}^{2}$ . La primera definición no implica la segunda cuando tenemos, por ejemplo, $U(x_1,x_2) = \begin{cases} 0 \text{ if } x_1 + x_2 = 1 \\ 2 \text{ if } x_1 + x_2 > 1 \\ 1 \text{ if } x_1 + x_2 < 1 \end{cases}$ .

Supongamos que $X = \mathbb{R}^2$ y las preferencias son completas, transitivas y estrictamente monótonas. (La monotonicidad estricta se define como $y \geq x \ (y \neq x) \implies y \succ x$ donde $(y_1, y_2) = y \geq x = (x_1, x_2)$ significa $y_1 \geq x \land y_2 \geq x_2$ .) A continuación, dos preguntas que se me ocurrieron y que no pude probar/desmentir:

1. ¿Podemos tener una relación de preferencia que satisfaga los tres supuestos y la primera definición de convexidad pero no la segunda?
2. ¿Podemos tener una función de utilidad que describa una relación de preferencia que satisfaga los tres supuestos y la primera definición de convexidad pero no la segunda?

Answer 1

Para Q 1 :

Permítame darle una relación de preferencia sobre $\mathbb{R}^2_+$

$(x_1, y_1) \succsim (x_2, y_2)$ si y sólo si $(x_1^2 + y_1^2 > x_2^2 + y_2^2)$ o $(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \ \wedge x_1 \geq x_2)$

Esto da la siguiente relación de preferencia estricta: $(x_1, y_1) \succ (x_2, y_2)$ si y sólo si $(x_1^2 + y_1^2 > x_2^2 + y_2^2)$ o $(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \ \wedge x_1 > x_2)$

y la relación de indiferencia: $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2)$ si y sólo si $(x_1=x_2 \wedge y_1 = y_2)$

Claramente, esta preferencia es estrictamente monótona, la definición de 1 se mantiene y la de 2 no.

Ahora puedes intentar construir uno en $\mathbb{R}^2$ (hay muchos)

Para Q 2 :

Permítanme volver a darles una función de utilidad definida en $\mathbb{R}^2_+$ que satisface la monotonicidad, la definición de Varian, pero no satisface la definición 2 de convexidad. Puedes intentar encontrar un ejemplo para $\mathbb{R}^2$ a ti mismo (hay muchos ejemplos).

\begin{eqnarray*} u(x,y) = \begin{cases} x+ y & \text{if } x + y < 2 \\ 1 + x & \text{if } x + y = 2 \text{ and } x \geq 1 \\ 4 - x & \text{if } x + y = 2 \text{ and } x < 1 \\ x + y + 2 & \text{if } x + y > 2 \end{cases} \end{eqnarray*}