Independencia frente a correlación en los modelos de vol. estocástico

Question

Últimamente estoy luchando un poco con algunas cosas básicas:

Considere un modelo SV \begin{align} dS_t &= \sigma_t S_t dW_t \\ d\sigma_t &= b(\sigma_t,t) dZ_t \end{align} con $dW_t dZ_t = 0$ .

Sé que la correlación cero no implica independencia, y de hecho $S_t$ no es claramente independiente de $\sigma_t$ .

Sin embargo, no puedo ver a partir de los SDE anteriores cómo $\sigma_t$ puede depender de $S_t$ De hecho, creo que no es así.

Pero si $\sigma_t$ eran independientes de $S_t$ entonces la función de volatilidad local $$ LV(K,T) := E_t [ \sigma^2_T | S_T = K] = E_t [ \sigma^2_T] $$ no dependería de $K$ . Pero esto implicaría una función vol local plana que no tiene sentido.

¿Qué hay de malo en mi razonamiento?

Answer 1

Consideremos las variables aleatorias $S_t$ y $\sigma_t$ . Sean sus funciones de distribución acumulativa marginal $F_{S,t}$ y $F_{\sigma,t}$ . Se dice que las variables son independientes si su función de distribución conjunta satisface
$F_{S,\sigma,t}=F_{S,t}F_{\sigma,t}$ . La independencia es naturalmente simétrica. La mejor manera de pensarlo intuitivamente es que conocer el valor de una variable aleatoria no da ninguna información sobre la otra variable. Nótese que la dependencia entre las variables aleatorias puede no ser en ningún sentido causal.

Sin especificar $b$ en tu ejemplo es difícil demostrar formalmente la independencia/dependencia. Sin embargo, cuando $\sigma_t$ es persistente (autocorrelacionado), ya que $S_t=S_0+\int_0^{t}\sigma_sS_sdW_s$ es de esperar que los valores de $\sigma_t$ para aumentar la dispersión de $S_t$ es decir, hacer la observación de los valores extremos de $S_t$ más probable. Alternativamente, un valor alto de $\sigma_t$ es más probable cuando $S_t$ toma un valor en las colas. Por lo tanto, no cabe esperar que estos dos procesos sean generalmente independientes.