¿Por qué el LMM con dinámica de mezcla (Brigo & Mercurio) es inconsistente para la fijación de precios de los exóticos?

Question

Estoy leyendo sobre el LMM con dinámica de mezcla lognormal. Considere la siguiente dinámica para el tipo de cambio a futuro $F_{i}(t)$ fijación en $T_{i-1}$ y pagando en $T_i$ : \begin{align} dF_{i}(t) = (F_i (t) +\gamma) \sigma_i^I dt \ , \end{align} donde $\gamma$ es un desplazamiento constante y $\sigma_i^I$ es una variable aleatoria de la volatilidad extraída en el momento $0^+$ de una distribución discreta o continua (el superíndice $I$ denota el estado). Esta dinámica tiene la conveniencia de que el precio de una call/put europea es simplemente la expectativa de los precios Black-Scholes sobre todos los escenarios posibles para la volatilidad, y uno podría calibrar fácilmente los estados sobre la sonrisa de mercado del caplet.

En un artículo de Piterbarg, "Mezcla de modelos: Una simple receta para una... ¿Resaca?" Se argumenta que dicha dinámica no puede utilizarse para la fijación de precios de los productos exóticos (se debería, por ejemplo, transformar primero la dinámica en una función vol local).

Sin embargo, no entiendo su argumento, especialmente en la página 4. El autor toma como ejemplo una simple opción de venta compuesta con dos estados {1, 2} para la volatilidad. Luego argumenta que cuando pasa el tiempo y si el mercado no cambia, el valor de continuación $H(S)$ en el momento $T_1$ (primera fecha de ejercicio) se calculará bajo la misma mezcla de la siguiente manera: \begin{align} H(S) = p_1 E^1_{T_1}\{(K_2 - S_{T_2})^+ |S_{T_1} = S \} + p_2 E^2_{T_1}\{(K_2 - S_{T_2})^+ |S_{T_1} = S \} \ . \end{align} En primer lugar, lo que no entiendo es que cuando un libro de exóticos es marcado a mercado diariamente, aunque el mercado no cambie significativamente, un nuevo procedimiento de calibración podría llevar a diferentes estados calibrados simplemente porque el tiempo hasta el vencimiento cambia (es decir, nos acercamos a $T_1$ y $T_2$ en el ejemplo anterior).

¿Alguien tiene una explicación clara (ya sea intuitiva o matemática) de por qué estos modelos pueden o no pueden utilizarse en la práctica? Intuitivamente, creo que un modelo de este tipo funcionaría al menos mejor que un simple LMM (sólo un estado con probabilidad 1) cuando se trata de cubrir la sonrisa. Entiendo que teóricamente el modelo no es muy realista, pero estoy viendo el problema desde el punto de vista de un profesional. Cualquier idea sobre la problemática sería útil.

Answer 1

Mi impresión es que Piterbarg critica el enfoque de la mezcla porque no es consistente con el mundo de la volatilidad estocástica (SV). En el mundo de la volatilidad estocástica, la volatilidad instantánea (o varianza) evoluciona continuamente a lo largo del tiempo, aunque no sea observable. En el modelo de mezcla, la volatilidad se descuenta de forma continua. evoluciona inmediatamente después $t=0$ que no es una imagen ideal en el mundo de los SV. En resumen, si eres religioso para el mundo SV, entonces, el modelo de mezcla no tiene sentido.

Sin embargo, existe un enfoque para considerar la volatilidad como una cantidad incierta (es inobservable) y asumirla como una distribución. Existe una técnica denominada randomization . Por ejemplo, véase Jacquier & Shi (2019) donde la varianza inicial del modelo Heston se asume como una variable aleatoria. En este sentido, el enfoque de la mezcla tiene cierto sentido. En mi opinión, el modelo de mezcla puede no ser perfecto, pero es mejor que el modelo simple (de volatilidad fija).

Referencias:

• Jacquier A, Shi F (2019) El modelo aleatorio de Heston. SIAM J Finan Math 10:89-129. https://doi.org/10.1137/18M1166420 . Descargar