Máximo ratio de Sharpe y optimización de la media-varianza

Question

Quiero entender por qué esto es así: $argmax_w ( \frac{\mu^T w}{\sqrt{w^T\Sigma w}})=\Sigma^{-1}\mu $

Acabo de encontrar este post: ¿Derivación de la cartera de tangencia (máximo ratio de Sharpe) en la teoría de carteras de Markowitz?

En el proceso has intercambiado el problema de optimización de la cartera óptima de tangencia con el problema de optimización de la cartera de media-varianza: $argmax_w (w^T\mu-\frac{1}{2}w^T\Sigma w )$

Quiero entender por qué estos problemas de optimización llegan a la misma conclusión.

Gracias.

Answer 1

Su primer argmax está realmente definido hasta un multiplicador constante: $argmax\left(\frac{\mu^Tw}{\sqrt{w^T\Sigma w}}\right)=\lambda\Sigma^{-1}\mu$ , donde $\lambda$ es una escala de tamaño de cartera arbitraria. En general, la maximización de un ratio invariable a escala de la forma $f(w)/g(w)$ puede hacerse en términos condicionales: $max(f)$ con sujeción a $g=const$ o, utilizando un multiplicador de Lagrange $\lambda$ , $max(f-\lambda g)$ . Formalmente, la condición de optimalidad $\nabla(f/g)=0$ resulta en una colinealidad de los gradientes de $f$ y $g$ -- lo mismo que en el máximo condicional con un multiplicador de Lagrange. La arbitrariedad del $\lambda$ La escala desaparece si hay restricciones en las ponderaciones de la cartera $w$ y/o los costes de transacción incurridos al reequilibrar la cartera desde su estado anterior. Esto implica un problema de optimización más complicado, pero aún convexo, c.f. este libro.