Si una relación de preferencia débil es completa y transitiva, ¿por qué la relación de preferencia estricta es negativamente transitiva?

Question

Mi libro de texto dice que "si una relación de preferencia débil es completa y transitiva, la relación de preferencia estricta DEBE ser asimétrica y negativamente transitiva". Ahora, creo que entiendo por qué debe ser asimétrica -todas las relaciones de preferencia estrictas son asimétricas, ¿correcto? Sin embargo, no entiendo por qué es negativamente transitiva. Si la preferencia débil es transitiva, ¿no podría la preferencia estricta ser también transitiva?

Answer 1

Creo que tu confusión se debe a que has malinterpretado la transitividad negativa como "no transitiva". Pero no es eso lo que significa. Es perfectamente posible que una relación binaria sea tanto transitiva como negativamente transitiva, como es el caso de la relación de preferencia estricta.

Definición 1. Una relación binaria $\mathcal{R}$ es transitivo si: $$x \mathcal{R} y \text{ and } y \mathcal{R} z \implies x \mathcal{R} z.$$

Definición 2. Una relación binaria $\mathcal{R}$ es transitivo negativo si: $$x \not\mathcal{R} y \text{ and } y \not\mathcal{R} z \implies x \not\mathcal{R} z.$$

(Son barras inclinadas sobre el $\mathcal{R}$ que significa "no". El "no" de LaTeX aquí no funciona tan bien como me gustaría).

La relación de preferencia estricta $\succ$ es a la vez transitivo y negativamente transitivo.

• Es transitivo porque $(x \succ y \text{ and } y \succ z)$ implica $x \succ z.$
• Es transitivo negativo porque $(x \not\succ y \text{ and } y \not\succ z)$ equivale a $(y \succsim x \text{ and } z \succsim y)$ que, por la transitividad de $\succsim$ implica $z \succsim x$ o $x \not\succ z$ .