¿Por qué la afirmación "la volatilidad de un $T - t$ -meses de prepago en el activo X es $\sigma$ " lo mismo que "la volatilidad del activo X es $\sigma$ "?

Question

Estoy estudiando por mi cuenta y tengo problemas para entender las formulaciones equivalentes de la volatilidad $\sigma$ de un activo $X$ como en el siguiente problema.

En la parte inferior del problema (y en la primera parte de la solución que he colgado), lo que está resaltado en rojo implica que la afirmación "la volatilidad de un $6$ -meses de prepago en $X$ es $0.3$ " equivale a afirmar que "la volatilidad de $X$ es $0.3$ .

Estoy tratando de convencerme de por qué eso es cierto.

La volatilidad de un activo $X$ significa la desviación estándar de la rentabilidad, o $\sqrt{\text{Var}(\ln X_t / X_0)} = \sqrt{\text{Var}(\ln{X_t})}$ .

La desviación estándar de la rentabilidad de un $T - t$ -meses de prepago en $X$ , $F^p_{t, T}(X)$ sería $\sqrt{\text{Var}(\ln X_T / F^p_{t, T}(X))} = \sqrt{\text{Var}(\ln{X_t})}$ ya que $F^p_{t, T}(X)$ es una constante conocida.

Por lo tanto, las dos formulaciones de la volatilidad son equivalentes. ¿Es correcto este razonamiento?

Answer 1

Casi, de hecho

• La volatilidad de un activo en un horizonte $[t,T]$ se refiere, en efecto, a la desviación estándar de la rentabilidad logarítmica observada durante ese período: $$ \sqrt{\text{Var}\left(\ln\left(\frac{X_T}{X_t}\right)\right)} = \sqrt{\text{Var}\left( \ln X_T - \ln X_t \right)} = \sqrt{\text{Var}\left( \ln X_T \right)} $$ porque $X_t$ es una constante conocida en $t$
• La desviación estándar de la rentabilidad logarítmica de un contrato a plazo sobre $X$ firmado en $t$ y que expira en $T$ sería: $$ \sqrt{\text{Var}\left(\ln\left(\frac{F_{T,T}^P(X)}{F_{t,T}^P(X)}\right)\right)} = \sqrt{\text{Var}\left( \ln F_{T,T}^P(X) \right)} = \sqrt{\text{Var}\left( \ln X_T \right)} $$ porque $F_{t,T}^P(X)$ es una constante conocida en $t$ pero sobre todo porque por ausencia de oportunidad de arbitraje $F_{T,T}^P(X) := X_T$