Correlación serial en Probit/Logit, ¿Consistencia?

Question

Supongamos que existe una variable latente, $y^*_i$ definido por, $$y_i^* = x_i'\beta + u_i$$

Considere la hipótesis probit de que $u_i \sim N(0,1)$ (aunque la cuestión es análoga para un error distribuido logísticamente y un logit).

Observamos $y_i=1$ si $y_i^* > 0$ et $y_i =0$ en caso contrario. Dados estos supuestos, la probabilidad de $y_i$ con la condición de $x_i$ et $\beta$ es: $f(y_i|x_i,\beta) = \Phi(x_i'\beta)^{y_i}(1-\Phi(x_i'\beta))^{1-y_i}$

El estimador MLE elige $b$ para maximizar la probabilidad: $max_b \prod_{i=1}^n f(y|x,b)$

PREGUNTA: si $Cov(u_i, u_j)\ne 0$ para algunos $i$ et $j$ entonces la distribución marginal de $y_i$ no ha cambiado, $f(y_i |x_i, \beta)$ . Sin embargo, la función de probabilidad cambiaría, ya que las observaciones ya no son independientes. La probabilidad de $y_i$ et $y_j$ no es sólo el producto de las dos probabilidades por separado.

He visto a gente estimar el probit con errores estándar agrupados, admitiendo esencialmente este problema, sin embargo no he visto una prueba o discusión de que el probit es todavía consistente en tal caso.

¿Es el probit consistente bajo correlación serial si la distribución marginal está correctamente especificada?

Answer 1

La idea básica es la siguiente: La "cuasi" probabilidad logarítmica (basada en el supuesto erróneo de independencia) $$\ell(\beta) = \sum_{i=1}^n \log L_i(\beta),$$ donde $\log L_i(\beta) = y_i \log \Phi(x_i'\beta) + (1-y_i) \log [1-\Phi(x_i'\beta)]$ obviamente no es la verdadera probabilidad logarítmica para $(y_1,\ldots,y_n)$ pero su expectativa sigue siendo maximizada en el parámetro verdadero, por lo que la "cuasi" MLE es consistente.

Los restos son matemáticas. Formalmente, la prueba puede ser así:

(i) Por la ley de los grandes números, $n^{-1} \sum_{i=1}^n \log L_i(\beta)$ converge en probabilidad al límite ' $\lim n^{-1} \sum_{i=1}^n E[\log L_i(\beta)]$ ' uniformemente en una vecindad compacta del parámetro verdadero. (Si $(x_i,u_i)$ se distribuye de forma idéntica en $i$ entonces el lado derecho puede escribirse como $E[\log L_i(\beta)]$ .) Nótese que la convergencia requiere que la autocorrelación sea sólo débil, lo que suele ser sólo una cuestión técnica. (Por ejemplo, $u_i = \xi + e_i$ la viola).

(ii) El maximizador de $E[\log L_i(\beta)]$ es único e igual al parámetro verdadero, y por tanto el parámetro verdadero también maximiza de forma única $\lim n^{-1} \sum_{i=1}^n E[\log L_i(\beta)]$ el límite de probabilidad de la función de cuasi-log-verosimilitud normalizada en (i).

(iii) (i) y (ii) implican que el maximizador de $\ell(\beta)$ , el cuasi-MLE, converge en probabilidad al parámetro verdadero.

Referencias

He encontrado este artículo de Estrella y Rodrigues (1998) en Google: https://www.newyorkfed.org/research/staff_reports/sr39.html (ver páginas 4-5 y sus referencias), que se refiere a:

Gourieroux, C., Monfort, A. y Trognon, A. 1984. Estimación y prueba en modelos Probit con correlación serial. En Florens, J.P., Mouchart, M., Raoult, J.P. y Simar, L. (Eds.).

Poirier, Dale J. y Ruud, Paul A. 1988. Probit with Dependent Observations. Review of Economic Studies 55, 593-614.

Wooldridge, Jeffrey. 1994. Estimación e inferencia para procesos dependientes. Handbook of Econometrics. Elsevier, Amsterdam.