En el escenario dado, el resultado social óptimo de una negociación coasiana no es en general el mismo que el resultado social óptimo de un impuesto pigouviano, aunque hay un caso especial en el que esto es así.
El escenario esbozado en esta pregunta tiene varias características que lo hacen bastante más complicado que algunas discusiones de libros de texto sobre la política hacia las externalidades negativas.
a) No se centra en los beneficios y los costes, sino en las funciones de utilidad (véase (A)).
b) Considera la optimalidad, definida como un estado en el que la suma de la utilidad de las dos partes es máxima, en lugar de la eficiencia (un estado en el que la utilidad de una parte no puede aumentar sin disminuir la de la otra, también conocido como optimalidad de Pareto) (cf. (B)).
c) No se especifica ninguna relación directa entre la utilidad y cualquier cantidad monetaria (véase (C)). El pago o la recepción de dinero por cualquiera de las partes afecta a la utilidad indirectamente a través de la cantidad que cada uno puede adquirir de un segundo bien no sujeto a una externalidad.
d) Utiliza funciones de utilidad general sin restricciones en su forma funcional.
e) Aunque ambas partes pueden consumir el segundo bien, como consecuencia de (d) anterior una cantidad determinada de ese bien no afecta necesariamente a la utilidad de cada parte de la misma manera. Por lo tanto, es posible que una transferencia monetaria entre las partes (ya sea a través de los ingresos fiscales pagados a la otra parte, o una negociación coasiana) podría aumentar o disminuir la suma de la utilidad no por razones relacionadas con la externalidad, sino simplemente por la transferencia de poder de gasto a o desde la parte que obtiene más utilidad de la misma cantidad del bien.
Esta respuesta tiene que ver, como pide la pregunta, con el óptimo social. Si es probable que un gobierno establezca un impuesto a un tipo que produzca un óptimo social, y si es probable que la negociación coasiana conduzca a un acuerdo que produzca un óptimo social, son otras cuestiones que no abordo. Hago una suposición simplificadora que no figura en la pregunta, a saber, que las funciones de utilidad son separables de forma aditiva, de modo que pueden ignorarse las derivadas parciales cruzadas.
Caso 1: $a$ El consumo de $y$ gravados con un tipo $t$ el uso de los ingresos fiscales se considera fuera del ámbito de la optimización
Este es el caso considerado en la primera parte de la pregunta. El análisis de $a$ La optimización de la empresa es correcta, pero así es como yo especificaría la optimización social:
$\max\limits_{x_a,y_a,t} \ u_a(x_a,y_a)+u_b(x_b,y_b)$
con sujeción a $\ p_xx_a+(p_y+t)y_a=e_a\qquad(1)$
et $\ \dfrac{\partial u_a}{\partial y_a}=\dfrac{p_y+t}{p_x}\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}\qquad(2)$
La maximización no tiene por qué ser excesiva $x_b$ et $b$ La restricción de ingresos de la empresa $p_xx_b=e_b$ no es necesario incluirlo ya que, al no tener que pagar impuestos u otros pagos a $b$ y ningún consumo de $y$ por $b$ , $x_b$ se fija en $e_b/p_x$ . Pero es necesario que se acabe $t$ et $t$ debe incluirse en $a$ (1), ya que el impuesto tiene un efecto tanto de renta como de sustitución sobre $a$ con consecuencias para la utilidad de ambas partes. La condición de primer orden (2) de $a$ También es necesario incluir la optimización de los bienes como una restricción: queremos maximizar el bienestar sólo sobre aquellas combinaciones de los bienes que $a$ elegiría realmente en respuesta a unos tipos impositivos determinados. También, $x_a$ , $y_a$ et $t$ debe ser no negativo.
El Lagrangiano es entonces:
$L=u_a+u_b+\lambda_1[p_xx_a+(p_y+t)y_a-e_a]+\lambda_2\Bigg[\dfrac{\partial u_a}{\partial y_a}-\dfrac{p_y+t}{p_x}\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}\Bigg]$
Esto conduce a condiciones de primer orden:
$\dfrac{\partial L}{\partial x_a}=\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}+\lambda_1p_x-\lambda_2\dfrac{p_y+t}{p_x}\dfrac{\partial^2u_a}{\partial x_a^2}=0\qquad(3)$
$\dfrac{\partial L}{\partial y_a}=\dfrac{\partial u_a}{\partial y_a}+\dfrac{\partial u_b}{\partial y_a}+\lambda_1(p_y+t)+\lambda_2\dfrac{\partial^2u_a}{\partial y_a^2}=0\qquad(4)$
$\dfrac{\partial L}{\partial t}=\lambda_1y_a-\dfrac{\lambda_2}{p_x}\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}=0\qquad(5)$
Sólo para este caso esbozaré un método de solución. Utilizando (3) a (5) es posible eliminar $\lambda_1$ et $\lambda_2$ y obtener la relación:
$(p_y+t)\Bigg[y_a\dfrac{\partial^2u_a}{\partial x_a^2}\bigg(\dfrac{\partial u_a}{\partial y_a}+\dfrac{\partial u_b}{\partial y_a}\bigg)+\bigg(\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}\bigg)^2\Bigg]=p_x \dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}\Bigg[\bigg(\dfrac{\partial u_a}{\partial y_a}+\dfrac{\partial u_b}{\partial y_a}\bigg)-y_a\dfrac{\partial^2u_a}{\partial y_a^2}\Bigg]\qquad(6)$
Esto puede ser reordenado como una fórmula para $t$ (nótese la diferencia con la fórmula de la pregunta):
$t=\dfrac{p_x\frac{\partial u_a}{\partial x_a}\Big[\big(\frac{\partial u_a}{\partial y_a}+\frac{\partial u_b}{\partial y_a}\big)- y_a\frac{\partial^2u_a}{\partial y_a^2}\Big]}{y_a\frac{\partial^2u_a}{\partial x_a^2}\big(\frac{\partial u_a}{\partial y_a}+\frac{\partial u_b}{\partial y_a}\big)+\big(\frac{\partial u_a}{\partial x_a}\big)^2}-p_y\qquad(7)$
De (2) también tenemos:
$t=\dfrac{p_x\frac{\partial u_a}{\partial y_a}}{\frac{\partial u_a}{\partial x_a}}-p_y\qquad(8)$
Igualando las fracciones de (7) y (8), como debe ser, y reordenando, podemos deducir:
$y_a=\dfrac{\big(\frac{\partial u_a}{\partial x_a}\big)^2\frac{\partial u_b}{\partial y_a}}{\frac{\partial u_a}{\partial y_a}\frac{\partial^2u_a}{\partial x_a^2}\big(\frac{\partial u_a}{\partial y_a}+\frac{\partial u_b}{\partial y_a}\big)+\big(\frac{\partial u_a}{\partial x_a}\big)^2\frac{\partial^2u_a}{\partial y_a^2}}\qquad(9)$
A este nivel de generalidad es difícil avanzar más, pero está claro que si las funciones de utilidad estuvieran especificadas y pudiéramos expresar las distintas derivadas como funciones de $x_a$ et $y_a$ entonces (9) daría lugar a una ecuación en $x_a$ et $y_a$ . Junto con (1) y (7) se obtendrían tres ecuaciones que podrían resolverse para las tres variables $x_a$ , $y_a$ et $t$ . Todo lo anterior, por supuesto, está sujeto a la advertencia de que estas variables deben ser no negativas.
Caso 2: $a$ El consumo de $y$ se grava con el tipo $t$ Los ingresos fiscales que paga el gobierno para $b$
En este caso $x_b$ depende de la cantidad de ingresos fiscales $b$ recibe, por lo que tenemos que optimizar sobre $x_b$ así como $x_a$ et $y_a$ e incluyen $b$ de los ingresos. Por lo tanto, la optimización social debería especificarse como:
$\max\limits_{x_a,y_a,t,x_b}u_a+u_b$
con sujeción a $\ p_xx_a+(p_y+t)y_a=e_a\qquad(10)$
et $\ \dfrac{\partial u_a}{\partial y_a}=\dfrac{p_y+t}{p_x}\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}\qquad(11)$
et $\ p_xx_b=e_b+ty_a\qquad(12)$
El Lagrangiano es:
$L=u_a+u_b+\lambda_1[p_xx_a+(p_y+t)y_a-e_a]+\lambda_2\Bigg[\dfrac{\partial u_a}{\partial y_a}-\dfrac{p_y+t}{p_x}\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}\Bigg]+\lambda_3[p_xx_b-e_b-ty_a]$
Esto conduce a condiciones de primer orden:
$\dfrac{\partial L}{\partial x_a}=\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}+\lambda_1p_x-\lambda_2\dfrac{p_y+t}{p_x}\dfrac{\partial^2u_a}{\partial x_a^2}=0\qquad(13)$
$\dfrac{\partial L}{\partial y_a}=\dfrac{\partial u_a}{\partial y_a}+\dfrac{\partial u_b}{\partial y_a}+\lambda_1(p_y+t)+\lambda_2\dfrac{\partial^2u_a}{\partial y_a^2}-\lambda_3t=0\qquad(14)$
$\dfrac{\partial L}{\partial t}=\lambda_1y_a-\dfrac{\lambda_2}{p_x}\dfrac{\partial u_a}{\partial x_a}-\lambda_3y_a=0\qquad(15)$
$\dfrac{\partial L}{\partial x_b}=\dfrac{\partial u_b}{\partial x_b}+\lambda_3x_b=0\qquad(16)$
Utilizando estas cuatro ecuaciones debería ser posible eliminar $\lambda_1$ , $\lambda_2$ et $\lambda_3$ y luego, utilizando (11) y (12) y si las funciones de utilidad están especificadas, resolver para $x_a$ , $y_a$ , $t$ et $x_b$ .
Caso 3: Sin impuestos, una ganga coasiana en el contexto que $b$ es el titular de los derechos y las partes acuerdan negociar únicamente sobre la base de una tarifa plana $p_z$ por unidad de $y$ consumido por $a$
Si las partes acuerdan negociar sólo sobre la base de una tarifa plana $p_z$ por unidad de $y$ la tasa óptima se obtendrá exactamente como en el caso 2, aunque sustituyendo $t$ por $p_z$ en todo. ¿Por qué? Porque para cualquier $y_a$ , transferencia de la suma $p_zy_a=ty_a$ de $a$ a $b$ tendrá exactamente el mismo efecto en el comportamiento y, por tanto, en la utilidad de cada parte, independientemente de que se trate de un impuesto recaudado de $a$ por el gobierno y luego se paga a $b$ o un pago directo de $a$ a $b$ .
Observe lo que no se dice aquí. No se afirma que el óptimo social que puede alcanzarse a través de cualquier negociación coasiana sobre cualquier base que las partes puedan elegir sea el mismo que para el caso 2. Tal afirmación sería falsa, como se demuestra al considerar el caso 4 a continuación.
Caso 4: Sin impuestos, una ganga coasiana en el contexto que $b$ es el titular del derecho y las partes acuerdan negociar sobre la base de un pago a tanto alzado por el consumo de $a$ de la cantidad específica de $y$ .
Este es un ejemplo de una oferta que no implica una tarifa plana por unidad de $y$ (son posibles otros, por ejemplo, una tasa creciente por unidad, pero no se considerarán aquí).
Es conveniente ilustrar este caso con un ejemplo numérico. Supongamos que $u_a= \ln(x_a+1)+\ln(y_a+1)$ ; $\ u_b=\ln(x_b+1)-0.1y_a^2$ ; $\ p_x=p_y=1$ ; $\ e_a=e_b=4$ . Supongamos además que las partes acuerdan que $a$ consumirá $y_a=0.9$ a cambio de un pago a $b$ de $0.4$ . Porque la cantidad $y_a$ se especifica en el acuerdo, no hay oportunidad de $a$ para optimizar en el ámbito del acuerdo, que no sea el gasto en $x_a$ todos los fondos no necesarios para el pago de la suma global y para la compra de la $0.9$ $y_a$ .
Las cantidades de $x$ consumido por cada parte será entonces:
$x_a=4-0.4-0.9=2.7\qquad(17)$
$x_b=4+0.4=4.4\qquad(18)$
y la utilidad social será:
$u_a+u_b=\ln(3.7)+\ln(1.9)+\ln(5.4)-0.1(0.9^2)\approx1.308+0.642+1.686-0.081=3.555\quad(19)$
Demostraré que esa es una utilidad social mayor que la que puede obtenerse a través de cualquier tarifa plana. Esto puede parecer sorprendente, ya que el pago a tanto alzado de $0.4$ para el consumo de $0.9$ puede considerarse equivalente a una tasa por unidad $p_z$ de $0.4/0.9\approx 0.444$ . Sin embargo, la cuestión es que una vez que las partes acuerdan la suma global, $a$ se compromete a consumir $0.9$ de $y$ mientras que si las partes acuerdan una tarifa por unidad, $a$ puede seguir optando por consumir la cantidad de $y$ que maximizará $a$ 's utilidad dada esa tasa. De hecho, sustituyendo en (1) y (2) con $p_z$ sustituyendo a $t$ et $p_z=0.444$ que tenemos:
$x_a+1.444y_a=4\qquad(20)$
$\dfrac{1}{y_a+1}=\dfrac{1.444}{x_a+1}=\dfrac{1.444}{5-1.444y_a}\qquad(21)$
de lo que podemos deducir:
$5-1.444y_a=1.444y_a+1.444\qquad(22)$
$3.556=2.888y_a$ y así $\ y_a\approx 1.231\qquad(23)$
En respuesta a una tarifa plana de $0.444$ Por lo tanto, $a$ elegirá consumir no $0.9$ mais $1.231$ de $y$ . Además, podemos deducir:
$x_a=4-(1+0.444)(1.231)=2.222\qquad(24)$
$x_b=4+0.444(1.231)=4.547\qquad(25)$
$u_a+u_b=\ln(3.222)+\ln(2.231)+\ln(5.547)-0.1(1.231^2)\approx1.170+0.802+1.713-0.152=3.533\qquad(26)$
Comparando (26) con (19), la utilidad social es algo menor con la tarifa plana.
Haciendo un cálculo similar para varios valores de $p_z$ He obtenido los resultados de la tabla siguiente.
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Se puede observar que, con una tasa a tanto alzado, el óptimo social se alcanza cuando la tasa $p_z$ es aproximadamente $0.50$ , con una utilidad social aproximada $3.536$ que es menor que el $3.555$ logrado con una suma global de $0.4$ para el consumo de $0.9$ de $y$ .
Así, para el ejemplo concreto ilustrado, un pago a tanto alzado para un nivel específico de consumo de y puede producir más utilidad social que cualquier tarifa plana. Dada la equivalencia de los casos 2 y 3, se deduce que el resultado socialmente óptimo de la negociación coasiana no será en general igual al resultado socialmente óptimo de un impuesto pagado a $b$ .
Referencias
A. Hanley N, Shogren J F & White B (2ª ed. 2007) Economía medioambiental en la teoría y en la práctica (en las páginas 45-8 se habla de la negociación coasiana en el contexto de unas curvas de beneficio marginal y de coste marginal dadas, sin mencionar la utilidad).
B. Wikipedia - Teorema de Coase (introduce el Teorema de Coase en términos de eficiencia económica).
C. Perman R, Ma Y, McGilvray & Common M (3ª ed. 2003) Economía de los recursos naturales y del medio ambiente (las páginas 137-9 discuten la negociación coasiana en el contexto de las curvas de beneficio marginal y de coste marginal apoyadas en funciones de utilidad que incluyen una variable monetaria (riqueza)).
