¿Existen teorías de carteras óptimas que en lugar del valor esperado se basen en el Modo de distribuciones

Question

¿Existen teorías de carteras óptimas que en lugar del valor esperado se basen en el Modo de las distribuciones?

Durante mis días de estudiante de ingeniería vi la teoría de Markowitz para la selección de carteras y hay algo que siempre me molesta, y es que se basan en la maximización del valor esperado... déjame explicarte por qué:

Si el precio de los activos sigue una distribución LogNormal sesgada (como sugiere el modelo Black-Scholes), el valor esperado va a estar siempre por encima del Modo , lo que significa que el valor más probable que encontraré si miro el activo en un momento aleatorio (el Modo ), será diferente del valor esperado.

Dado que al hacer una cartera compré activos en los que no sé realmente cuándo voy a venderlos, debería intentar conseguir los precios más altos para el mayor número de momentos posibles, de modo que, si decido vender en un momento aleatorio, sus valores observados son los más probables.

Pero si tengo el valor medio siempre, otros estarán pidiendo la misma cantidad de premio ya que es el valor esperado para ese activo, pero el valor más probable que debería ver va a estar por debajo de este valor por lo que estaré en una mala situación.

Así que, en lugar de esta estrategia, debería intentar estar por encima de ese valor para venderlo con un mayor margen.

O pensándolo de esta otra manera... Si maximizo el valor esperado, y voy a vender en algún momento aleatorio, ya que para las distribuciones LogNormal el valor esperado está por encima del Modo La mayor parte del tiempo voy a estar por debajo del valor de mercado del activo, por lo que estaré perdiendo dinero.

Por eso mi intuición dice que una estrategia de optimización de la cartera debe ser maximizar el Modo de la distribución en lugar del valor esperado (restringido a otras figuras como la minimización de la varianza global, como ejemplo, pero por ahora no quiero cerrar la pregunta a otras figuras posibles).

Por eso Quiero saber si existen estrategias de cartera que maximicen el Modo en lugar del valor esperado de los activos . Por favor, cualquier referencia es bienvenida, ya que no he encontrado ninguna en Google (tal vez porque no estoy usando los términos correctos dado que no soy un investigador en esta área, ni un hablante nativo de inglés).

Resumiendo, en mi opinión: el "valor más esperado" en una distribución de probabilidad sesgada es el [Modo](https://en.m.wikipedia.org/wiki/Mode(statistics)) y no el "Valor medio" (es que en las distribuciones simétricas coinciden con el mismo valor, y debido al amplio uso de la distribución Normal en la física, debido a que es la máxima distribución de entropía para media y potencia finitas, la idea está apilada en las mentes de todos), por lo que quiero conocer alternativas en las que el [Modo](https://en.m.wikipedia.org/wiki/Mode(statistics)) en lugar del valor medio se utiliza para caracterizar las variables (además, si estoy en lo cierto para algunas distribuciones en las que el valor medio es indefinido, el modo existe de todos modos).

De antemano, muchas gracias.

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Añadido más tarde

No sé si es algo fácil de hacer o no, pero tal vez comparando rápidamente carteras, una hecha con Markowitz clásico, y otra eligiendo carteras con una frontera eficiente modificada hecha con Modos en lugar de los valores esperados... ¿Se comportará mejor o no?

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2do. Agregado más tarde

Debido al escaso número de comentarios y respuestas, me gustaría preguntar también... ¿Es mi intuición errónea?... o se trata de un ejemplo de ser este un supuesto poco estudiado?

Answer 1

Sí, estoy proponiendo una nueva rama del cálculo estocástico. Deja de lado la suposición de Ito de que los parámetros son conocidos. Hay una rama bayesiana y la conjetura de una rama frecuentista. Es posible que la rama frecuentista sólo sea válida en ciertos casos condicionales. Si es cierto, enviaría una bola de demolición a través de algunos modelos de regresión vectorial.

Para obtener un punto de una distribución, ya sea una distribución predictiva bayesiana o una construcción similar en el lado frecuencial, normalmente imponemos una función de utilidad. Para el valor esperado, impondríamos una pérdida cuadrática. Sin embargo, lo que hice fue proponer una función de utilidad indirecta en lugar de la función de utilidad o pérdida de Abraham Wald.

Para una distribución truncada, el centro de localización suele ser la moda, que se encuentra minimizando la función de pérdida de todo o nada sobre una distribución, con algunas advertencias, por supuesto. La distribución no puede tener masa en un solo punto y cero en todos los demás.

Si se considera que el equilibrio es el punto en el que no hay error subjetivo, entonces también es el centro de localización. Cuando la quiebra trunca la mayoría de las distribuciones simétricas, $\mu$ permanece en el modo. Por supuesto, muchas distribuciones de cola pesada carecen de media. La función de utilidad indirecta permite construir una función de utilidad por partes. Es, efectivamente, la utilidad del sistema. No requiere que ninguna persona tenga esa función. De hecho, es sencillo pensar en funciones de utilidad heterogéneas que generarían una función del sistema distinta a ésta.

No siempre se utiliza la moda, por supuesto, depende de la distribución en cuestión. Se convierte en una teoría, no tan basada en la media, la mediana o la moda, sino en el precio de equilibrio, que resulta estar bastante a menudo en un tipo estándar de centro de localización.

También se podría desarrollar un conjunto de reglas de asignación de cartera sobre la modalidad simplemente construyendo un modelo en el que su función de utilidad sea el negativo de la función todo o nada. Entonces maximizarías el negativo de la función todo o nada, que es la modalidad. Su solución sería impulsada por $$\mathcal{U}(\theta,\hat{\theta})=0\text{ when }\theta-\epsilon<\hat{\theta}<\theta+\epsilon,\text{ else }-c,c>0.$$

Puede encontrar el documento en: Harris, David E., A Generalization of Stochastic Calculus--A Conjecture (29 de noviembre de 2018). Disponible en SSRN: https://ssrn.com/abstract=3197451

Lo presentaré en el WEAI el 3 de julio de 2022, por lo que también podrás encontrarlo en las actas una vez finalizada la conferencia.

Tenga en cuenta que esto no es una teoría del modo, pero le permite construir una matemática para la teoría alrededor del modo. Hago esto en otro lugar, pero el documento no está en línea. Sustituyo los modelos de opciones y como muchas distribuciones están truncadas, gira en torno a la moda. También es posible una regresión modal.

Es bastante importante darse cuenta de que cuando las distribuciones carecen de un valor medio, tanto la mediana como la moda tienen propiedades pobres en comparación con las distribuciones que sí tienen una media poblacional. Para que dos variables se relacionen a través de la moda en una construcción bayesiana, la afirmación más fuerte que se puede hacer para $$y=\beta{x}+\alpha+\varepsilon$$ es que la relación más común entre $y$ y $x$ es $$y=\beta{x}+\alpha+\varepsilon$$ .

Nada prohíbe matemáticamente que tengan otras relaciones menos comunes. Esa es una afirmación muy débil. Eso te lleva muy lejos con las estadísticas subjetivistas de Leonard Jimmie Savage.