¿Cómo se optimiza, en la práctica, el rendimiento de los objetivos?

Question

Supongamos que tenemos $A$ a $T \times N$ matriz de rendimientos diarios para un universo de activos de $N$ artículos, $b$ a $(T,)$ vector de rendimientos diarios de un activo objetivo, $x$ a $(N,)$ vector de ponderación. Queremos una cartera que replique los rendimientos diarios $b$ lo más cerca posible, con la restricción de que las ponderaciones de la cartera $x$ suman 1 y $x$ es no negativo (no hay cortocircuito). Se podría utilizar para cosechar pérdidas fiscales o como cobertura.

Si consideramos primero el caso sin restricciones:

$$\min_x \sum_t^{T} (A \cdot x - b)$$

Esto no es más que una aproximación/regresión por mínimos cuadrados, cuyo objetivo puede reescribirse como

$$|Ax-b|^2 = (Ax-b)^T(Ax-b) = x^T{A^T}Ax - 2x^TA^Tb + b^2$$

Tomando la derivada wrt $x$ y ponerlo a 0,

$$2A^TAx - 2A^Tb = 0 \\ x = (A^TA)^{-1}A^Tb$$

Para manejar las restricciones de igualdad como $x$ que suman 1, y las restricciones de desigualdad como $x$ siendo no negativo, se puede plantear un problema de mínimos cuadrados restringidos, resolver la matriz KKT y obtener una solución de forma cerrada, aunque con una complejidad cúbica debido a la necesidad de invertir las matrices.

Sin embargo, el gestor de la cartera puede tener otras limitaciones: tal vez prefiera mantener $x$ relativamente escaso, por lo que pueden limitarse a comprar unos 3-4 activos en lugar de asignar un pequeño porcentaje entre miles de activos. Existen técnicas más complejas, como la regresión de cresta, la regresión de lazo, etc., pero éstas empiezan a implicar una optimización por pasos (por ejemplo, el descenso de coordenadas).

Mi pregunta es sobre cómo la industria de la optimización de carteras optimiza realmente en la práctica: ¿es más similar a la optimización convexa analítica con simples restricciones de desigualdad / igualdad, y tal vez un poco de hacks en la parte superior de la regresión de mínimos cuadrados (por ejemplo, el redondeo de los valores pequeños de $x$ ), ¿o lo normal es una optimización más escalonada? Si el objetivo es lo suficientemente complejo, ¿tendría sentido pasar a un algoritmo de optimización más "negro", como un algoritmo genético o algún tipo de optimizador de descenso de gradiente estocástico?

Answer 1

Su problema práctico aquí es la insistencia en pesos no negativos, que sumen 1. No hay ninguna ecuación de forma cerrada que resuelva este problema.

Sin embargo, puede hacerse mediante métodos iterativos. Se pondera cada acción i por Ai que es ilimitada, su peso de cartera Wi es e(AI)/suma(e(Ai)). Las ponderaciones suman 1 y son todas positivas.

SumW = suma(e(Ai))

dWi/dAi = Wi x (1-Wi) / SumW

dUtilidad/dAi se convierte así en superior a x dUtilidad/dWi

Que puede ser descendente.

Si se utiliza esto en la realidad, se puede encontrar con un problema de "cresta contra LASSO" de cientos de pesos diminutos. Estos pueden excluirse cargando un coste de penalización lineal al uso de cualquier peso a cualquier acción. A su utilidad sólo se le carga una S x e(Ai) extra por la molestia de invertir en ese nombre. Por lo demás, el proceso no cambia, aunque sea de naturaleza tristemente iterativa.

Espero que esto ayude. DEM