¿Probación de propiedades para las preferencias?

Question

Tengo un examen parcial y todavía no estoy del todo seguro de los argumentos formales para demostrar (estrictamente) \convexity Creo que domino bastante bien la intuición que hay detrás de estos conceptos, pero me falta un razonamiento matemático formal riguroso. Esta es una de las veces en las que mi formación matemática minimalista me perjudica.

Por ejemplo, sé esto sobre las preferencias lexicográficas:

No es continuo porque los conjuntos de contorno superior son abiertos.
Fuertemente monótono, ya que el aumento de un componente lleva a un punto más alto de utilidad
Estrictamente convexo porque se prefiere la combinación de dos.

Pero, ¿cómo podría poner eso en matemáticas formales? Si alguien pudiera trabajar con un solo ejemplo, creo que podría resolverlo de una vez por todas, o guiarme a algunos apuntes de clase donde se trabaje formalmente un ejemplo en particular.

Answer 1

Parece que lo que quieres hacer es encontrar las definiciones matemáticas formales y aplicarlas.

los conjuntos de contornos superiores son abiertos

Encontrar una secuencia $(x_n,y_n)$ donde todos los elementos están en un conjunto de contorno superior pero el límite de la secuencia no lo está.

el aumento de un componente lleva a un punto de utilidad más alto

Mostrar esto, es decir $$ x' > x \Rightarrow U(x',y) > U(x,y) $$ y $$ y' > y \Rightarrow U(x,y') > U(x,y). $$

se prefiere estrictamente la combinación de dos

¿Comparado con qué? Tal vez esté pensando en esta definición:
para todos $(x,y) \sim (x',y')$ y $\lambda \in (0,1)$ $$ (x,y) \prec (\lambda x + (1-\lambda x'), \lambda y + (1-\lambda y')). $$

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Tal vez te refieras a "cómo los muestro". Bueno, esto depende de la función de utilidad exacta, no hay una solución general.
Para la preferencia lexicográfica, las dos primeras propiedades no son difíciles si se piensa en ellas. La tercera es complicada, pero las curvas de indiferencia de las preferencias lexicográficas son monotonales, es decir, no hay dos puntos en los que $(x,y) \sim (x',y')$ por lo que la afirmación es verdadera por defecto.