Muestreo de importancia para Monte Carlo con volatilidad local en la práctica

Question

Me dan una difusión con una volatilidad local para valorar las opciones de barrera:

$$dX(t)=X(t)\mu dt+X(t)\sigma(t,X)dW_t$$

Quiero utilizar el Muestreo de Importancia para fijar el precio de las opciones de barrera "lejos" del dinero. He investigado un poco y he encontrado https://pdfs.semanticscholar.org/4fe5/94e3c7667c762cf1f7d841fcd0a4bf30f255.pdf

Esto es lo más sencillo que he encontrado sobre el tema ya que lo que busco es simplemente aplicar el método.

Sin embargo, me cuesta utilizarlo en la práctica. A mi entender, se puede utilizar (con la misma notación que en el documento)

$$V \approx V_g = E_g[G(X)\frac{f(X)}{g(X)}]$$

en lugar de usar:

$$V \approx V_f = E_f[G(X)]$$

con $f$ la densidad original y $g$ la recién definida que minimiza la varianza del estimador monte carlo.

Si $f$ viene dado por : $$f(x)=(2 \pi)^{-\frac{n}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{T} x}$$

entonces $g$ puede ser definido por: $$ g_{\mu}(x)=(2 \pi)^{-\frac{n}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^{T}(x-\mu)}$$

con $\mu$ : $$\min _{\mu} E_{f}\left[G^{2}(X) \frac{f(X)}{g_{\mu}(X)}\right]$$

¿Cómo puedo utilizar en la práctica esto en mi simulación de Monte Carlo, para el $X(t)$ -¿proceso dado anteriormente?

Answer 1

Que yo sepa, no existe una fórmula analítica o una aproximación que diga qué valor de $\mu$ es una solución para la ecuación de minimización

$$\min _{\mu} E_{f}\left[G^{2}(X) \frac{f(X)}{g_{\mu}(X)}\right].$$

Sin embargo, normalmente una buena estimación inicial es tomar $\mu$ de manera que la nueva distribución se centre en el strike de su opción (o más cerca de la barrera). Entonces, utilizando ese valor de $\mu$ como una estimación inicial, puedes intentar afinar un poco más el parámetro. Para ello, observa cómo evoluciona el precio que obtienes de tu Monte Carlo a medida que aumentas el número de muestras.

La idea ingenua allí es que usted tiene una proporción conocida $f(X)//g_\mu (X)$ ponderando los valores de su muestra, que ahora está centrada en la huelga, lo que le da una mayor sensibilidad al proceso subyacente.

Espero que eso ayude.