Cómo simular precios de acciones correlacionados (no rendimientos)

Question

Supongamos que tenemos dos acciones que siguen los GBM. La deriva y la volatilidad se calculan a partir de datos históricos. Además, se supone que las acciones están correlacionadas (es decir, se mueven juntas, si la acción 1 sube, la acción también lo hace). ¿Cómo puedo simular los precios futuros de las acciones para que se mantengan juntos? Para la rentabilidad utilizaría la descomposición de Cholesky, pero como estoy mirando directamente los niveles de precios y no las rentabilidades, dudo que eso sea correcto.

Answer 1

Para dos GMB $$S_i(t)=S_i(0)e^{(r-\delta_i)t+\sigma_i W_i(t)-\sigma_i^2 t/2}\,,\quad i=1,2$$ con ${\rm Corr}[W_1(t),W_2(t)]=\rho\,t$ tenemos $$\begin{align} \mathbb E\left[S_i(t)\right]&=S_i(0)e^{(r-\delta_i)t}\,,\\[2mm] \mathbb E\left[S_i^2(t)\right]&=S_i^2(0)e^{2(r-\delta_i)t+\sigma_i^2t}\,,\\[2mm] {\rm Var}\left[S_i(t)\right]&=S_i^2(0)e^{2(r-\delta_i)t}\left(e^{\sigma_i^2t}-1\right)\,,\\[2mm] \mathbb E\left[S_1(t)S_2(t)\right]&=S_1(0)S_2(0)e^{(2r-\delta_1-\delta_2)t+\sigma_1\sigma_2\rho\,t}\,,\\[2mm] {\rm Cov}\left[S_1(t),S_2(t)\right]&=S_1(0)S_2(0)e^{(2r-\delta_1-\delta_2)t}\left(e^{\sigma_1\sigma_2\rho\,t}-1\right)\,. \end{align}$$ Por lo tanto, $$\boxed{{\rm Corr}\left[S_1(t),S_2(t)\right]=\frac{e^{\sigma_1\,\sigma_2\,\rho\,t}-1}{\sqrt{e^{\sigma_1^2t}-1}\sqrt{e^{\sigma_2^2t}-1}}\,.}$$ Obviamente, la correlación de $S_1$ y $S_2$ aumenta/disminuye/positivo/negativo cuando $\rho$ está aumentando/disminuyendo/positivo/negativo. En otras palabras: a efectos prácticos, la correlación de los rendimientos, $\rho$ es tan buena como la correlación de las acciones. Soy de la opinión de que no hay ninguna serie temporal de datos históricos que te diga cuál es la verdadera correlación.