Determinar la probabilidad de llegar a un precio en un tiempo T

Question

Un cálculo útil para conocer el riesgo de algo podría ser determinar la probabilidad de realización de un conjunto de precios de acciones $X$ siendo mayor o igual a algún precio futuro $x$ .

Según mis conocimientos de aficionado en este campo, entiendo que un modelo del precio de un activo es el GBM. Dado que se supone que los precios se distribuyen lognormalmente (y por tanto, los rendimientos son normalmente distribuido) puede ser más fácil determinar la probabilidad de un futuro retorno llegar a un precio $x$ .

Esto me deja con dos preguntas:

1. En cuanto al modelo GBM de precios, no tengo ni idea de determinar la probabilidad de que una acción alcance (o supere) un precio. Supongo que habría que hacerlo de forma monte carlo - pero no tengo ni idea.

2. Para el modelo de retorno, dado que se distribuye normalmente, se podría determinar la probabilidad de que finalmente alcanzar un rendimiento mediante el uso de $P(X <= x)$ para obtener la probabilidad el precio $X$ es menor o igual que algún precio $x$ . Entonces, tomando $1 - P(X <= x)$ le daría la probabilidad de que el rendimiento supere $x$ . Sin embargo, no hay tiempo componente aquí. No estoy seguro de cómo integrarlo. Más al punto, no creo que esto realmente me dice nada sobre el precio.

Para ambas cosas, me gustaría recibir alguna orientación, ya sea directa o con enlaces a recursos que me ayuden a ponerlas en práctica. Gracias.

EDITAR:

Mala suposición en (2). Debería ser la probabilidad de volviendo a x.

Answer 1

En cuanto a la probabilidad de que una acción supere un determinado nivel: supongamos para simplificar que estamos en un mundo Black-Scholes (pero un razonamiento similar para otros modelos)

Suponiendo que se crea que un GBM es una buena representación del precio de la acción, y suponiendo que se pueda estimar correctamente la tasa de crecimiento "real" de la acción (y otros parámetros como la volatilidad a utilizar y los dividendos si los hay), entonces se puede calcular la probabilidad de que la acción S supere en un momento futuro T un determinado nivel K (según el modelo): utilizando el lema de ito aplicado a ln(St), y tras integrar, se obtiene una expresión de S(T) = S(0) * exp( (r-d-vol*vol/2)*T + vol * sqrt(T)*epsilon)

Se escribe la desigualdad S(T) >= K y luego se aísla epsilon (una variable gaussiana) tal que
-epsilon <= ...

Por lo tanto proba(S(T)>= K) es igual a proba( -epsilon <= d2 ) = N(d2)

N(x) representa la función de distribución acumulativa normal.

d2 es aquí el mismo que en la fórmula de la llamada B-S. Puede encontrar fácilmente los detalles de los cálculos anteriores en Internet o en "Exotic Options and Hybrids" (Mohamed Bouzoubaa), por ejemplo.

Esto es una probabilidad según un modelo. Pero si lo que quieres son probabilidades "reales", entonces la pregunta es si realmente crees que, en la "vida real", el GBM es realmente una buena representación del precio de las acciones, si crees que cualquier modelo de precios es una representación suficientemente buena de lo que ocurre en la vida real. Probablemente no lo sea, ya que el objetivo de cualquier modelo de precios no es pronosticar nada (sino sólo decirte cómo replicar una opción y cuánto cuesta hacerlo).

Esto no responde completamente a su pregunta, pero espero que pueda ayudar un poco.