Lema de Ito para el caso especial

Question

Supongamos un marco HJM con el mismo movimiento browniano conduciendo la dinámica para cada tenor. $$ df(t,T) = \alpha(t, T)dt + \sigma(t,T) dw_t \,, $$ con $\alpha(t, T) = \sigma(t,T)\int_t^T \sigma(t,s)ds$ .

Se puede demostrar que: $$ -\ln(P(t, T)) = \int_0^T f(0, u) du + \int_0^t \int_s^T \alpha(s, u) du ds + \int_0^t \int_s^T \sigma(s, u) du dw_s - \int_0^t r(u) du . $$ Definir el rendimiento de un vencimiento fijo $$ Y_\tau(t) := Y(t, t+\tau) = -\frac{\ln(P(t, t+\tau))}{\tau} . $$ Me gustaría escribir el SDE de este proceso.

Esto se reduce a un problema que tiene un proceso estocástico definido por: $$ X_t = \int_0^t h(s,t) dw_s $$ Para $h$ una función de "buen comportamiento".

¿Hay alguna manera de aplicar el lema de Ito o cualquier otro método similar para obtener la correspondiente SDE $dX_t$ ?

También me parece bien adoptar cualquier otro enfoque para resolver el problema principal, es decir, encontrar $dY_\tau(t)$ .

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Soy consciente de que la solución no es simplemente como para una función que depende sólo de $s$ : $$ dX_t = h(t,t) dw_t. $$ También me doy cuenta de que si la función $h(s, t)$ es separable entonces puedo simplemente sacar la parte que depende de $t$ y aplicar Ito. Por ejemplo, para $X_t=tw_t$ donde uno puede conseguir fácilmente $dX_t = w_tdt + tdw_t$ que también se puede comprobar que es la respuesta correcta mediante la integración.

Sin embargo, este no es el caso y la función está lejos de ser separable.

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He visto este y este preguntas ligeramente relacionadas, y este prueba pero la falta de bibliografía no me da la suficiente confianza para aplicar el resultado. ¿Hay alguna referencia que pueda utilizar?

Answer 1

Esto parece ser una aplicación directa resuelta de la diferenciación bajo el signo integral, regla de Leibniz ya que $h(s,t)$ es una función determinista que se comporta bien: \begin{equation} dX(t)=\int_{0}^{f(t)}\frac{\partial h(s,t)}{\partial t}dW(t)+\frac{\partial f(t)}{\partial t}h(t,t)dW(t). \end{equation} Aquí $f(t)=t$ por lo tanto tenemos, \begin{equation} dX(t)=\int_{0}^{t}\frac{\partial h(s,t)}{\partial t}dW(s)+h(t,t)dW(t). \end{equation} Podemos comprobarlo mediante el proceso OU donde podemos escribir el SDE y la solución: \begin{equation} dZ(t)=-\theta Z(t)dt+\sigma dW(t). \end{equation} \begin{equation} Z(t)=Z(0)e^{-\theta t}+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}dW(s). \end{equation} Después de aplicar la regla de Leibniz: \begin{equation} dZ(t)=-\theta\left[Z(0)+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}dW(s)\right]dt+\sigma e^{-\theta(t-t)}dW(t)\\ =-\theta Z(t)dt+\sigma dW(t). \end{equation} ahora volvemos al proceso original de OU. Entonces para $dY_{\tau}(t)$ utilizando la expresión para $-\ln(P(t,T))$ dado por @Diego, podemos escribir, \begin{equation} dY_{\tau}(t)=-\frac{d\ln(P(t,t+\tau)}{\tau} =\frac{\left[\int_{t}^{t+\tau}\alpha(t+\tau,u)du+\int_{0}^{t}\alpha(s,t+\tau)ds+\left(\int_{t}^{t+\tau}\sigma(t,u)du\right)dW(t)+\int_{0}^{t}\sigma(s,t+\tau)dW(s)-r(t)dt\right]}{\tau} \end{equation}