Integral estocástica paramétrica

Question

Necesito ayuda.

Definición de la integral estocástica paramétrica

$$F_t = \int_t^T\xi(t,s)g(s)ds$$

$\\\\$

con $\xi$ un proceso estocástico genérico tal que $d\xi(t,s) = \mu(t,s)dt + \sigma(t,s)dW_t$ Estoy tratando de probar que

$\\\\$ $$dF_t = - g(t)\xi(t,t)dt + \int_t^Td\xi(t,s)g(s)ds$$

Mi primer intento fue el siguiente :

$$\xi(t,s) = \xi(0,s) + \int_0^t\mu(u,s)du + \int_0^t \sigma(u,s)dW_u$$

y así

$$\begin{eqnarray*} F_t &=& \int_t^T\xi(0,s)g(s)ds + \int_t^T\int_0^t\mu(u,s)g(s)duds + \int_t^T\int_0^t\sigma(u,s)g(s)dW_uds\\ &=& \int_t^T\xi(s,s)g(s)ds - \int_t^T\int_t^s\mu(u,s)g(s)duds - \int_t^T\int_t^s\sigma(u,s)g(s)dW_uds \end{eqnarray*}$$

$\\\\$

Suponiendo condiciones adecuadas para aplicar el teorema estocástico de Fubini, obtenemos

$\\\\$

$$\begin{eqnarray*} F_t = \int_t^T\xi(s,s)g(s)ds - \int_t^T\alpha(u,T)du - \int_t^T\beta(u,T)dW_u \end{eqnarray*}$$

con

$$\begin{eqnarray*} \alpha(u,T) = \int_u^T\mu(u,s)g(s)ds \quad \quad \text{and} \quad \quad \beta(u,T) = \int_u^T\sigma(u,s)g(s)ds \end{eqnarray*}$$

Aplicando el lema de Ito, encontramos

$\\\\$

$$\begin{eqnarray*} dF_t &=& -\xi(t,t)g(t)dt + \alpha(t,T)dt + \beta(t,T)dW_t\\ &=& -\xi(t,t)g(t)dt + \int_t^T\left(\mu(t,s)dt + \sigma(t,s)dW_t\right)g(s)ds\\ &=& -\xi(t,t)g(t)dt + \int_t^Td\xi(t,s)g(s)ds \end{eqnarray*}$$

Ahora, tengo dos preguntas:

• ¿Es correcta mi prueba?
• ¿Hay una respuesta más inteligente y rápida?

Gracias de antemano por su respuesta.

Answer 1

Tengo problemas para entender su notación $$\int_t^Td\xi(t,s)g(s)\,ds\,.$$ ¿Qué significa esto cuando se pasa de la forma diferencial $dF_t$ a la forma integral $$F_t=F_0-\int_0^tg(s)\,\xi(s,s)\,ds\,+\quad?$$ Seguramente, en el caso determinista cuando $\sigma\equiv 0\,$ tenemos por cálculo ordinario $$\frac{dF}{dt}=-\xi(t,t)\,g(t)+\int_t^T\frac{\partial}{\partial t}\xi(t,s)\,g(s)\,ds\,,$$ o, en forma integral $$\tag{0} F_t=F_0-\int_0^tg(s)\,\xi(s,s)\,ds+\int_0^t\int_u^T\frac{\partial}{\partial u}\xi(u,s)\,g(s)\,ds\,du\,.$$ Para llegar al fondo del caso estocástico considero sólo el caso $\mu\equiv 0,\sigma\not\equiv 0,g\equiv1$ para simplificar la notación.

Desde $\xi(t,s)=\xi(0,s)+\int_0^t\sigma(u,s)\,dW_u$ obtenemos (usando Fubini estocástico) $$\begin{align} F_t&=\int_t^T\xi(t,s)\,ds=\int_t^T\xi(0,s)\,ds+\int_t^T\left(\int_0^t\sigma(u,s)\,dW_u\right)\,ds\\ &=\int_t^T\xi(0,s)\,ds+\int_0^t\int_t^T\sigma(u,s)\,ds\,dW_u\,. \end{align}$$ Por la fórmula de Ito, $$\tag{1} dF_t=-\xi(0,t)\,dt+\left(\int_t^T\sigma(t,s)\,ds\right)dW_t-\left(\int_0^t\sigma(u,t)\,dW_u\right)\,dt\,.$$ El último término de (1) puede combinarse con el primero y da $$\begin{align}\tag{2} dF_t&=-\xi(t,t)\,dt+\left(\int_t^T\sigma(t,s)\,ds\right)dW_t\,. \end{align}$$ En forma integral, (2) es $$\tag{3}\boxed{ F_t=F_0-\int_0^t\xi(s,s)\,ds+\int_0^t\int_u^T\sigma(u,s)\,ds\,dW_u\,.}$$ Por Fubini estocástico, esto es $$\tag{4} F_t=F_0-\int_0^t\xi(s,s)\,ds+\int_0^T\int_0^{s\wedge t}\sigma(u,s)\,dW_u\,ds\,.$$ Utilizando $$d\xi(t,s)=\sigma(t,s)\,dW_t$$ se puede escribir (4) como $$\tag{5}\boxed{ F_t=F_0-\int_0^t\xi(s,s)\,ds+\int_0^T\big\{\xi(s\wedge t,s)-\xi(0,s)\big\} \,ds\,.}$$ Es bastante fácil ver que (0) también puede escribirse de la misma forma. En otras palabras, (5) es la forma que comprende el caso determinista y el estocástico.