Utilizando la representación de Mandelbrot-Vann Ness del movimiento browniano fraccionario en términos de integrales de Wiener, los incrementos del logaritmo de la varianza realizada $v = \sigma^{2}$ bajo la medida física $\mathcal{P}$ se expresan como
\begin{equation} \begin{aligned} \log v_{u}-\log v_{t} &=2 \nu C_{H}\left(W_{u}^{H}-W_{t}^{H}\right) \\ &=2 \nu C_{H}\left(\int_{-\infty}^{u}|u-s|^{H-\frac{1}{2}} d W_{s}^{\mathbb{P}}-\int_{-\infty}^{t}|t-s|^{H-\frac{1}{2}} d W_{s}^{\mathbb{P}}\right) \\ &=2 \nu C_{H}\left(\int_{t}^{u}|u-s|^{H-\frac{1}{2}} d W_{s}^{\mathbb{P}}+\int_{-\infty}^{t}\left[|u-s|^{H-\frac{1}{2}}-|t-s|^{H-\frac{1}{2}}\right] d W_{s}^{\mathbb{P}}\right) \\ &=: 2 \nu C_{H}\left[M_{t}(u)+Z_{t}(u)\right] \end{aligned} \end{equation}
Con $H$ nuestro parámetro Hurst que determina la rugosidad del movimiento browniano fraccionario. En esta expresión, la integral izquierda $M_{t}(u)$ es independiente de $\mathcal{F}_{t}$ y la integral derecha $Z_{t}(u)$ es $\mathcal{F}_{t}$ -medible.Tenga en cuenta que $\tilde{W}^{P}$ se define como:
\begin{equation} \tilde{W}^{P}:=\sqrt{2 H} \int_{t}^{u} \frac{d W_{s}^{\mathbb{P}}}{(u-s)^{\gamma}} \end{equation} En este paso no sé por qué nos separamos $\tilde{W}^{P}$ de $C_{H}$ ¿el término no debería $C_{H}$ ser obligatoria para tener un movimiento browniano fraccionario propio del parámetro $H$ .Además no entiendo por qué añadimos un $\sqrt{2H}$ en la expresión.Para continuar se dice que $\tilde{W}^{P}$ tiene las mismas propiedades que $M_{t}(u)$ , sólo con varianza $(u t)^{2H}$ . Con $\eta:=\frac{2\nu C_{H}}{\sqrt{2H}}$ tenemos $2\nu M_{t}(u) C_{H}= \eta \tilde{W}^{P}$ y así : \begin{equation} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[v_{u} \mid \mathcal{F}_{t}\right]=v_{t} \exp \left\{2 \nu C_{H} Z_{t}(u)+\frac{1}{2} \eta^{2} \mathbb{E}\left|\tilde{W}_{t}^{\mathbb{P}}(u)\right|^{2}\right\} \end{equation} Sin embargo, no entiendo claramente este pasaje. $Z_{t}(u)$ depende sólo de los valores históricos, lo que hace que no sea markoviana y que no la tratemos como una variable aleatoria. Después de eso, el último paso es sencillo de derivar como : \begin{equation} \begin{aligned} v_{u} &=v_{t} \exp \left\{\eta \tilde{W}_{t}^{\mathbb{P}}(u)+2 \nu C_{H} Z_{t}(u)\right\} \\ &=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[v_{u} \mid \mathcal{F}_{t}\right] \mathcal{E}\left(\eta \tilde{W}_{t}^{\mathbb{P}}(u)\right) \end{aligned} \end{equation}
Con $\mathcal{E}$ siendo la integral estocástica de Wick tal :
\begin{equation} \mathcal{E}(\Psi)=\exp \left(\Psi-\frac{1}{2} \mathbb{E}\left[|\Psi|^{2}\right]\right) \end{equation}
Por último tampoco entiendo por qué en los modelos de volatilidad aproximada tenemos $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[v_{u} \mid \mathcal{F}_{t}\right] \neq \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[v_{u} \mid v_{t}\right]$ .
Gracias por su ayuda.
