Mercado Arrow-Debreu con incertidumbre

Question

Estoy leyendo unas notas de clase sobre el modelo macro estocástico. Digamos una economía de dotación con un agente $i=1,2$ que reciben la dotación aleatoria cada periodo $e_{t}^{i}\left(s^{t}\right)$ donde $s^{t}=\left(s_{0}, s_{1}, \ldots s_{t}\right)$ es el historial de eventos con probabilidad $\pi_{t}\left(s^{t}\right)$ .

Entonces un equilibrio competitivo Arrow-Debreu se define como precios $\left\{\hat{p}_{t}\left(s^{t}\right)\right\}_{t=0, s^{t} \in S^{t}}^{\infty}$ y asignaciones $\left(\left\{\hat{c}_{t}^{i}\left(s^{t}\right)\right\}_{t=0, s^{t} \in S^{t}}^{\infty}\right)_{i=1,2}$ tal que

• 1 Dado $\left\{\hat{p}_{t}\left(s^{t}\right)\right\}_{t=0, s^{t} \in S^{t}}^{\infty}$ , para $i=1,2,\left\{\hat{c}_{t}^{i}\left(s^{t}\right)\right\}_{t=0, s^{t} \in S^{t}}^{\infty}$ resuelve $\begin{aligned} \max _{\left\{c_{t}^{i}\left(s^{t}\right)\right\}_{t=0, s^{t} \in S^{t}}^{\infty}} \sum_{t=0}^{\infty} \sum_{s^{t} \in S^{t}} \beta^{t} \pi_{t}\left(s^{t}\right) U\left(c_{t}^{i}\left(s^{t}\right)\right) \text{s.t.}\\ \sum_{t=0}^{\infty} \sum_{s^{t} \in S^{t}} \hat{p}_{t}\left(s^{t}\right) c_{t}^{i}\left(s^{t}\right) \leq & \sum_{t=0}^{\infty} \sum_{s^{t} \in S^{t}} \hat{p}_{t}\left(s^{t}\right) e_{t}^{i}\left(s^{t}\right) \\ c_{t}^{i}\left(s^{t}\right) \geq & 0 \text { for all } t, \text { all } s^{t} \in S^{t} \end{aligned}$
• 2 $\hat{c}_{t}^{1}\left(s^{t}\right)+\hat{c}_{t}^{2}\left(s^{t}\right)=e_{t}^{1}\left(s^{t}\right)+e_{t}^{2}\left(s^{t}\right) \text { for all } t, \text { all } s^{t} \in S^{t}$

La maximización de la utilidad es intuitiva, es decir, maximizar la expectativa de consumo sobre todas las posibilidades. Pero no entiendo la restricción presupuestaria, que se suma sobre las historias sin probabilidades. Me parece que se trata de una restricción presupuestaria sobre todos los mundos contrafactuales pero en realidad sólo tenemos una realización?

Answer 1

Hay varias formas de "descentralizar" las operaciones, pero lo más fácil es pensar que todas las operaciones se realizan antes de que se revele cualquier incertidumbre. Entonces, $\hat{p}_{t}\left(s^{t}\right)$ es lo que un agente tiene que pagar inicialmente para recibir una unidad del bien de consumo en el periodo $t$ en el estado $s_t$ , tanto si el Estado se da cuenta después como si no.

Es perfectamente normal hacer operaciones para recibir algo en una contingencia que quizá nunca se materialice. De hecho, así es como funcionan los seguros, y el reparto de riesgos es la principal razón por la que no podemos limitarnos a negociar una vez conocida la contingencia.