¿Cómo explicar la asimetría del Volga de vainilla?

Question

He trazado los gráficos de Volga de Vanilla Call/Put utilizando el método de diferencias finitas, y encontré que son los mismos, y una forma asimétrica de observar para ambos. ¿Alguna manera intuitiva de explicar el comportamiento, o por qué ITM call/OTM put tiene mayor Volga?

Answer 1

La forma que se observa se debe realmente a que el spot es mayor para las llamadas ITM y las puts OTM.

Las parcelas son definitivamente correctas. Puede comprobarlo rápidamente utilizando la norma forma cerrada volga que es $$vega*\frac{d1*d2}{\sigma}$$ .

Cambiar la tasa libre de riesgo y los dividendos sólo desplaza todo el gráfico ligeramente a la izquierda o a la derecha, respectivamente.

El Volga es $$vega*\frac{d1*d2}{\sigma}$$ por lo que $$ S * e^{-d*t}*n(d1) * \sqrt \tau*\frac{d1*d2}{\sigma}$$ con $d_1= \frac{\ln S- \ln K +(r-d+\frac{1}{2}\sigma^2)\tau }{\sigma \sqrt{\tau}}$ y $d_2= d_1 - \sigma \sqrt{\tau}$ .

Como $n(d1)>0$ siempre que $\sigma \sqrt{\tau}>0$ Sólo se puede explicar con dos cosas, punto $S>0$ o el término $\frac{d1*d2}{\sigma}$ . Esto último es un poco complicado, y podría ser similar a lo que ocurre con delta a primera vista. El $d1*d2$ Esta parte puede parecer desalentadora, pero los ordenadores personales le permiten ocuparse de ella rápidamente. Los siguientes usos Julia .

function d1d2Vol(S,K,t,rf,d,) d1 = ( log(S/K) + (rf - d + 1/2*^2)*t ) / (*sqrt(t))
  d2 = d1 - *sqrt(t)
  vega_c = S * exp(-d*t)*n(d1) * sqrt(t)*0.01
  volga = vega_c*((d1*d2)/)
  return d1*d2/, vega_c, volga
end

spotRange = 10:10:300
K         = 150
rf        = 0 
d         = 0
         = 0.2
t         =1
df = DataFrame(d1d2Vol.(spotRange,K,t,rf,d,))
rename!(df,[:d1d2v,:vega,:volga] )

Esto parece $(d1*d2)/$ en realidad tiene el efecto contrario al observado. La representación gráfica lo demuestra.

plot(spotRange,[df.d1d2v], label= L"\frac{d1*d2}{\sigma}",size=(800,650), legendfontsize=20, xlabel = "Spot", ylabel= L"\frac{d1*d2}{\sigma}")

Así que lo único que queda para explicar la diferencia (que además debe compensar el efecto contrario de $(d1*d2)/$ ) es el precio al contado. Si se observa con detenimiento a Black Scholes, esto también tiene un sentido intuitivo. La fórmula estándar es la siguiente aquí es proporcionar un resultado en moneda.

function BSM(S,K,t,rf,d,)
  d1 = ( log(S/K) + (rf - d + 1/2*^2)*t ) / (*sqrt(t))
  d2 = d1 - *sqrt(t)
  c  = exp(-d*t)S*N(d1) - exp(-rf*t)*K*N(d2)
  vega = S * exp(-d*t)*n(d1) * sqrt(t)*0.01 
  volga = vega*((d1*d2)/)
  return c, vega, volga
end

Ahora, la fijación de precios de dos opciones idénticas con $S=90$ , $K=100$ , $t=1$ año, tasas y dividendos cero y la única diferencia es el vol de $\sigma=0.2$ y $\sigma=0.21$ se puede ver como la adición de vega se acerca al nuevo valor de la opción después de aumentar el vol.

Sin embargo, eso depende del valor real del spot (y del strike). Supongamos que mira Berkshire que actualmente es de unos 421.350 dólares.

Vega sigue funcionando, pero el valor es muy diferente al de antes. El "problema" aquí es que el precio del BS es en efectivo, no en porcentaje del subyacente. Si lo transformas en un precio porcentual comparable, ves que ambas opciones tienen el mismo precio (lo cual debería ser así, ya que se trata de los mismos insumos y la misma cantidad de dinero).

Puede transformar fácilmente una volga en la otra dividiendo por el punto de la volga, y multiplicando por el otro valor del punto.

Una última comprobación de cordura consiste en excluir S en la fórmula de la volga y volver a trazar el mismo valor. En efecto, como el tamaño de $(d1*d2)/$ sugiere que el punto más alto está ahora en el lado izquierdo.