Dado un conjunto de consumo convexo $X$ y la función de utilidad de $N$ agentes: $u_1,\cdots,u_N$ bajo qué condición, el conjunto de utilidades $U=\{u\in\mathbb{R}^N:\exists x\in X s.t. u_i(x)=u_i\forall i\}$ es convexo?
¿Es suficiente con dejar que $u_i$ sea una función cóncava y no decreciente? Gracias de antemano.
Lo que sigue es una ligera adaptación de
Mas-Colell, Andreu. "Óptimos y equilibrios de Pareto: el caso finito dimensional finito". Avances en la teoría del equilibrio . Springer, Berlín, Heidelberg, 1985. 25-42.
Consideremos una economía de intercambio en la que todos tienen el conjunto de consumo $\mathbb{R}^l_+$ la dotación agregada es $\omega$ y es posible la libre disposición. Abusando de la notación, podemos utilizar $\leq$ tanto para el orden coordial de los vectores como para el orden habitual en la recta real.
El conjunto factible es $$X^*=\{(x_1,\ldots,x_N)\in \mathbb{R}_+^{lN}\mid x_1+\cdots+x_n\leq\omega\}.$$ Si cada agente $i$ tiene una función de utilidad monótona, continua y cóncava $u_i$ tal que $u_i(0)=0$ entonces el conjunto de posibilidades de utilidad $$U=\Big\{\big(u_1(x_1),\ldots,u_n(x_N)\big)\mid (x_1,\ldots,x_N)\in X^*\Big\}$$ es convexo. Para la notación, si $x=(x_1,\ldots,x_N)\in X^*$ escribimos $u(x)$ para $\big(u_1(x_1),\ldots,u_N(x_N)\big)$ .
Para ver que $U$ es convexo, nótese en primer lugar que $X^*$ es convexo y para toda asignación $x\in X^*$ , si $0\leq x'\leq x$ entonces $x'\in X$ . Ahora, dejemos que $u,u'\in U$ y $\alpha\in [0,1]$ . Hay $x,x'\in X^*$ tal que $u(x)=u$ y $u(x')=u'$ . Como todas las funciones de utilidad son cóncavas, tenemos $u(\alpha x+(1-\alpha)x')\geq\alpha u+(1-\alpha)u'$ . Como cada función de utilidad es monótona y tiene el valor $0$ en $0$ existe un vector $x''$ satisfaciendo $0\leq x''\leq\alpha x+(1-\alpha)x'$ tal que $u(x'')=\alpha u+(1-\alpha)u'$ y $x''\in X^*$ .
Muchas gracias por la perspicaz respuesta. Me he dado cuenta de que en este escenario, la utilidad de cada agente sólo depende de su consumo, no del consumo de los demás. ¿Hay algún resultado sobre el caso más general de que la utilidad de cada agente dependa del consumo de todos?
Lo realmente relevante aquí son tres cosas: 1. El conjunto factible es convexo. 2. Todas las funciones de utilidad son cóncavas. 3. Hay "libre disposición en la utilidad", si $u\in U$ et $u'\leq U$ (o $0\leq u'\leq u$ o algo similar), entonces $u'\in U$ . El problema fundamental es que la gráfica de una función cóncava no es cóncava, sino que su hipógrafo es.
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Debería $X$ sea el conjunto de asignaciones?
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@MichaelGreinecker Sí, en realidad estoy considerando un problema de asignación de recursos.
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@RPG Creo que puedes editar tu pregunta y especificar que $X$ es un conjunto de asignaciones. No es lo mismo que un conjunto de consumo. También hay que redefinir el conjunto de posibilidades de utilidad en consecuencia.