Ejemplo de solución de funciones de utilidad cóncavas

Question

En el siguiente puesto se da un ejemplo de solución de esquina para una función de utilidad cóncava. He intentado resolverlo pero me he quedado atascado. No tengo ni idea de cómo se resuelven este tipo de problemas, así que si podéis, por favor, indicadme la dirección correcta.

Aquí está mi trabajo hasta ahora:

$U(x_1, x_2)=x_1+\ln(x_2)$

s.t.

$x_1p_1+x_2p_2\leq w$

$x_1\geq0;\; x_2\geq0$

\begin{alignat*}{3} % #1 L(x_1, x_2,x_3,&\lambda,\mu_1,\mu_2)=x_1+\ln(x_2) +\\ +&\lambda[w-(x_1p_1+x_2p_2)]+\mu_1x_1+\mu_2x_2 \end{alignat*}

$\frac{\partial L}{\partial x_1}=1-\lambda p_1+\mu_1 \leq 0$

$\frac{\partial L}{\partial x_2}=\frac{1}{x_2}-\lambda p_2+\mu_2 \leq 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=w-(x_1p_1+x_2p_2) \leq 0$

$\frac{\partial L}{\partial \mu_1}=x_1 \leq 0$

$\frac{\partial L}{\partial \mu_2}=x_2 \leq 0$

Suponiendo que las restricciones superiores sean vinculantes. Podemos decir:

$\lambda = \frac{1+\mu_1}{p_1}$

$\lambda = \frac{\frac{1}{x_2}+\mu_2}{p_2}$

$\frac{p_2(1+\mu_1)}{p_1}=\frac{1}{x_2}+\mu_2$

$\frac{p_2+p_2\mu_1-\mu_2p_1}{p_1}=\frac{1}{x_2}$

$x_2=\frac{p_1}{p_2+p_2\mu_1-\mu_2p_1}$

poniendo esto en la restricción presupuestaria que obtengo:

$x_1p_1+\frac{p_1p_2}{p_2+p_2\mu_1-\mu_2p_1}=w$

$x_1=\frac{w}{p_1}-\frac{p_2}{p_2+p_2\mu_1-\mu_2p_1}$

$x_2=\frac{p_1}{p_2+p_2\mu_1-\mu_2p_1}$

cuando $p_2\mu_1-\mu_2p_1$ es igual a 0 obtengo la solución para $w>p_1$ pero no tengo ni idea de cómo han conseguido la segunda parte. Así que aquí es donde me quedé atascado. Muchas gracias de antemano a los expertos en matemáticas.

Answer 1

Este es el problema que queremos resolver:

\begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2} & x_1 +\ln x_2 \\ \text{s.t.} & \ p_1 x_1 + p_2x_2 \leq w \\ \text{and} & \ x_1\geq 0, x_2>0 \end{eqnarray*}

Ici $w>0$ , $p_1>0$ y $p_2>0$ .

En primer lugar, se establece la función lagrangiana:

$\mathcal{L}(x_1, x_2)= x_1 +\ln x_2 - \lambda(p_1 x_1 + p_2x_2 - w) + \mu_1x_1$

Las condiciones necesarias de primer orden son:

$\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1} = 1 - \lambda p_1 + \mu_1 = 0$

$\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2} = \dfrac{1}{x_2} - \lambda p_2 = 0$

$p_1 x_1 + p_2x_2 \leq w, \ \lambda \geq 0, \ \lambda(p_1 x_1 + p_2x_2 - w) = 0$

$x_1 \geq 0, \ \mu_1 \geq 0, \ \mu_1x_1 = 0$

$x_2>0$

Desde  $\mathcal{L}$ es cóncava, si $(x_1^d, x_2^d)$ satisface las condiciones de primer orden, también es una solución del problema de maximización de la utilidad.

Resolviendo el sistema anterior obtenemos los valores óptimos de $x_1^d$ , $x_2^d$ como:

\begin{eqnarray*} (x_1^d, x_2^d)(p_1, p_2, w)=\begin{cases} \left(\frac{w-p_1}{p_1},\frac{p_1}{p_2}\right) & \text{if } p_1 \leq w \\ \left(0,\frac{w}{p_2}\right) & \text{if } p_1 > w \end{cases} \N - Fin.

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Añadido más tarde

Así podemos resolver el siguiente sistema:

$\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1} = 1 - \lambda p_1 + \mu_1 = 0$

$\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2} = \dfrac{1}{x_2} - \lambda p_2 = 0$

$p_1 x_1 + p_2x_2 \leq w, \ \lambda \geq 0, \ \lambda(p_1 x_1 + p_2x_2 - w) = 0$

$x_1 \geq 0, \ \mu_1 \geq 0, \ \mu_1x_1 = 0$

$x_2>0$

Basándonos en el sistema anterior, podemos dividirlo en lo siguiente posibilidades de solución:

• $p_1 x_1 + p_2x_2 < w$ Esto implicaría que $\lambda = 0$ pero eso significaría que $\mu_1=-1$ que no es coherente con el sistema. Por lo tanto, no hay solución para el sistema anterior donde $p_1 x_1 + p_2x_2 < w$ .
• $p_1 x_1 + p_2x_2 = w$ En este caso hay dos posibilidades: $x_1>0$ y el otro es $x_1=0$ . Ambos son posibles en función de los valores de $p_1$ , $p_2$ y $w$ :

Para el caso de $x_1>0$ obtenemos $\mu_1=0$ y eso implicaría que $\lambda=\frac{1}{p_1}$ . Así que, $x_2=\frac{p_1}{p_2}$ y el valor correspondiente de $x_1= \frac{w-p_1}{p_1}$ . Claramente, esta es la única solución para el sistema anterior cuando $p_1< w$ .

Para el caso de $x_1=0$ , $x_2= \frac{w}{p_2}$ y el valor correspondiente de $\lambda=\frac{1}{w}$ y por lo tanto, $\mu_1 = \frac{p_1-w}{p_1}$ . Claramente, esta es la única solución para el sistema anterior cuando $p_1 \geq w$ .

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Para ver cómo resolver un problema similar con $u(x, y) = 2\sqrt{x} + y$ , puede referirse a: https://youtu.be/l8vHgCv70h0

Entradas relacionadas (Forma alternativa de encontrar la demanda de $u(x, y) = 2\sqrt{x} + y$ ): https://qr.ae/pGJuvH