Prueba matemática de que el VAN siempre es negativo cuando la tasa de rendimiento es inferior a la tasa de descuento

Question

¿Puede alguien proporcionar una prueba matemática de que el VAN es siempre negativo cuando la tasa de rendimiento es inferior a la tasa de descuento? Es decir, supongamos que tenemos

• una única entrada inicial, C0
• una tasa de rendimiento constante y conocida de la inversión, r > 0
• y algún tipo de descuento constante, rd > r
• y dejando que Ct = flujo de caja en el periodo t

Tal y como yo lo veo, el argumento sería algo así:

NPV = -C0 + summ( Ct / (1+rd)^t ) 
= -C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t )
... then some magic happens, then ...
< 0 

Pero cómo llegar de principio a fin, no lo sé.

Anecdóticamente, lo veo como que, dado que r < rd y ambos números se reducirán exponencialmente con el tiempo, nunca habría un periodo en el que el flujo de caja devuelto fuera mayor que el rendimiento que podrías haber obtenido invirtiendo a la tasa de descuento rd, por lo que el VAN < 0 (y si incluso esta es una forma incorrecta de pensarlo, por favor, házmelo saber).

Básicamente, pedir una prueba de que el VAN siempre < 0 siempre que la rentabilidad de la inversión sea menor que la tasa de descuento para todos los períodos.

Agradecería una prueba y una explicación (o incluso una explicación sobre por qué esto puede estar tratando de probar algo que no es necesariamente cierto). Gracias.

Answer 1

La tasa interna de rendimiento es el valor de r que satisface la ecuación

0 = C0 + C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)^2 + ... + Cn / (1 + r)^n

El valor actual neto (VAN) es el valor de la suma de los flujos de caja descontados:

NPV = C0 + C1 / (1 + rd) + C2 / (1 + rd)^2 + ... + Cn / (1 + rd)^n

Desde rd > r , para t = 1, ..., n tenemos las desigualdades simples:

(1 + rd) > (1 + r)

(1 + rd)^t > (1 + r)^t

Tomar la inversa cambia el sentido de la desigualdad:

1 / (1 + rd)^t < 1 / (1 + r)^t

Ya que las infusiones de efectivo son un flujo de caja negativo, C0 < 0 . Pero presumiblemente Ct > 0 para todos los periodos de tiempo posteriores (es decir, para t = 1, ..., n ). Entonces, multiplicando la desigualdad anterior por una cantidad positiva, Ct , preserva la dirección de la desigualdad:

Ct / (1 + rd)^t  < Ct / (1 + r)^t

Ahora, mirando la suma término por término,

0 = C0 + C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)^2 + ... + Cn / (1 + r)^n
  > C0 + C1 / (1 + rd) + C2 / (1 + rd)^2 + ... + Cn / (1 + rd)^n = NPV

Esto demuestra que si valoramos un flujo de caja (con una inversión inicial seguida de flujos de caja positivos) utilizando una tasa de descuento que es mayor que la tasa de rendimiento, el VAN sería negativo.

Answer 2

Suponiendo que la segunda línea debe ser corregida a:

NPV = -C0 + summ( Ct / (1+rd)^t ) 
    = -C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t )

Podemos continuar:

      = -C0 + summ( (r/(1+rd)^t *C0 )

Así que claramente lo que nos interesa es:

summ( (r/(1+rd))^t ) 

¿necesariamente < 1? Todos los términos de la suma son positivos, por lo que el valor máximo de la suma ocurre si sumamos hasta el infinito. Dado que r < 1+rd, sabemos que (r/(1+rd)) < 1, por lo que la suma al infinito tiene un valor finito. Específicamente, la suma al infinito es:

      1
------------  - 1
1 - r/(1+rd)

Multipliquemos la parte superior e inferior de la fracción por 1+rd y ampliar 1

  1 + rd         1 + rd - r
----------   -   ----------
1 + rd - r       1 + rd - r

Simplifica:

    r
----------
1 + rd - r

Lo que me parece que puede ser mayor que 1. Si rd == 5, r = 4, entonces la expresión da 4 / 2 == 2 - lo que implica que el VAN es mayor que cero.

Esto me parece que está mal (pero con suerte, alguien puede señalar mi error)