He aquí un hecho sencillo: en su notación, el modelo considerado es completo si y sólo si la matriz
\begin{bmatrix} 1+R & 1+R \\ d & u \end{bmatrix}
es uno a uno, es decir $d \neq u$ . (Equivalentemente, su transposición es onto, que es lo que se muestra en su texto citado).
El no arbitraje se da si y sólo si $d \leq 1+R \leq u$ y $d < u$ . (Por supuesto, $d \neq u$ . De lo contrario, tienes dos activos sin riesgo, y el modelo colapsa trivialmente o admite trivialmente el arbitraje). Por lo tanto, NA implica la completitud del mercado, porque $d < u$ implica $d \neq u$ . Obsérvese que la condición de no arbitraje -que la rentabilidad libre de riesgo se encuentre en el intervalo de la rentabilidad de riesgo- no se utiliza realmente.
En general, la completitud del mercado bajo el no-arbitraje (unicidad de la medida neutral al riesgo) es una propiedad adicional al no-arbitraje (existencia de una medida neutral al riesgo). En el caso binomial, sin embargo, hay realmente un "grado de libertad" y la completitud se mantiene trivialmente mientras el modelo no colapse.
Dejando la configuración binomial, esto no tiene por qué ser cierto. Por ejemplo, consideremos un modelo con $n$ estados y $n$ activos, con $n > 2$ . El modelo podría no tener arbitraje pero no ser completo. Del mismo modo, consideremos un modelo con $n$ estados y $m$ activos, con $m > n > 2$ . El modelo podría ser completo (de hecho, con activos redundantes) pero admite el arbitraje.
