Varianza de la tasa corta de Cox-Ingersoll-Ross

Question

Shreve II página 151, el modelo Cox-Ingersoll-Ross se define como $$dr_t=(\alpha-\beta r_t)dt+\sigma\sqrt{r_t}dW_t$$ Aplicando el lema de Ito, obtenemos \begin{align} r_t&=r_0e^{-\beta t}+\frac{\alpha}{\beta}(1-e^{-\beta t})+\sigma e^{-\beta t}\int_0^te^{\beta u}\sqrt{r_u}dW_u\\ &=\frac{\alpha}{\beta}+\Big(r_0-\frac{\alpha}{\beta}\Big)e^{-\beta t}+\sigma e^{-\beta t}\int_0^te^{\beta u}\sqrt{r_u}dW_u \end{align} Ahora para la varianza de $r_t$ Shreve sugiere que establezcamos $$X_t=e^{\beta t }r_t$$ y aplicamos el lema de Ito para obtener $dX_t$ después de lo cual $d(X_t^2)$ puede ser encontrado. Entonces $d(X_t^2)$ se integra para obtener $X_t^2$ de la cual $r_t^2$ se encuentra. Por último, la varianza se deriva de $$Var(r_t)=E(r_t^2)-(E(r_t))^2$$ Mi pregunta es, ¿por qué no tomar la varianza de $r_t$ inmediatamente, es decir \begin{align} Var(r_t)&=\sigma^2 e^{-2\beta t}\int_0^te^{2\beta u}E(r_u)du\\ &=\sigma^2 e^{-2\beta t}\int_0^te^{2\beta u}\Big(\frac{\alpha}{\beta}+\Big(r_0-\frac{\alpha}{\beta}\Big)e^{-\beta u}\Big)du \end{align} y a partir de aquí la integración es sencilla. Da el mismo resultado que el método de Shreve.

Una posibilidad es que haya asumido $E(r_u(dW_u)^2)$ = $E(r_u)E((dW_u)^2)$ lo que implica la independencia entre $r_t$ y $(dW_t)^2$ .

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

El supuesto de independencia no es necesario. De hecho, basado en la isometría de Ito y el teorema de Fubini, \begin{align*} Var(r_t) &= E\left((r_t-E(r_t))^2 \right)\\ &=\sigma^2 e^{-2\beta t} E\left(\left(\int_0^te^{\beta u}\sqrt{r_u}dW_u\right)^2 \right)\\ &=\sigma^2 e^{-2\beta t} E\left(\int_0^te^{2\beta u} r_u du \right)\\ &=\sigma^2 e^{-2\beta t}\int_0^t e^{2\beta u}E(r_u) du. \end{align*}