R2 parcial y contribución de los regresores

Question

Hice una pregunta similar en Cross Validated, pero no obtuve respuesta. La siguiente pregunta es suficientemente diferente.

Consideremos la siguiente relación determinista: $$Y_{t}=C_{t}+I_{t}+G_{t}+(X_{t}-M_{t})$$

Si realizamos una regresión OLS de Y sobre las covariables, por supuesto, obtenemos un $R^{2}$ de 1, y el vector de coeficientes igual a sus homólogos poblacionales, es decir $$\hat{\beta}= \beta=1$$

Esto significa que el efecto marginal de cada regresor es constante. Sin embargo, la contribución de cada regresor depende de su varianza relativa a y. De hecho, en el caso univariante, se puede demostrar que $$R^{2}=\beta^{2}\frac{var(x)}{var(y)}$$ que muestra que incluso cuando el efecto marginal de $x$ en $y$ es grande, su contribución en el parcial $R^{2}$ sentido es alto sólo cuando varía mucho, haciendo que y varíe también con él.

Ahora, considera la misma expresión anterior: $$Y_{t}=C_{t}+I_{t}+G_{t}+(X_{t}-M_{t})$$

Dividamos ambos lados por $Y_{t}$ para todo el vector de coeficientes y la matriz de diseño.

Lo conseguimos: $$1=\frac{C_{t}}{Y_{t}}+\frac{I_{t}}{Y_{t}}+\frac{G_{t}}{Y_{t}}+\frac{(X_{t}-M_{t})}{Y_{t}}$$

Esto es válido para cada realización de $Y_{t}$ y la matriz de diseño por construcción. Ahora, cada regresor es la contribución relativa (que podemos multiplicar por 100 para obtener el porcentaje de contribución) a la variable dependiente.

Ahora que tenemos la contribución relativa de cada regresor para cada observación, podemos obtener la contribución media del regresor a través de las observaciones.

He realizado algunas simulaciones y he comprobado que la contribución media de cada regresor se aproxima, pero no es exactamente igual a la contribución parcial $R^{2}$ de cada regresor. ¿Existe alguna relación entre ellos? Intuitivamente, deberían ser iguales, ¿no? Muchas gracias.

Answer 1

Estoy un poco desconcertado por su pregunta. He hecho una simulación simple, datos adjuntos:

sum x1  x2  x3  x1_proportion   x2_proportion   x3_proportion   ones
1.44975 .884738 .331214 .233797 .6102698    .2284629    .1612673    1
1.75989 .793748 .655205 .310937 .4510212    .3722992    .1766796    1
1.35571 .462276 .882351 .011085 .3409837    .6508396    .0081768    1
1.63689 .002848 .708656 .925386 .0017398    .4329283    .565332     1
1.44575 .862857 .256457 .326439 .5968218    .1773864    .2257918    1
2.10639 .59055  .964992 .550847 .2803613    .4581261    .2615126    1
1.34527 .180885 .497332 .667048 .1344604    .3696907    .4958489    1
1.97426 .299043 .831939 .843283 .1514706    .4213918    .4271376    1
1.7669  .559657 .268161 .939079 .3167457    .1517697    .5314847    1
1.58345 .916163 .520577 .146706 .5785881    .3287623    .0926496    1
1.77596 .832321 .670544 .273091 .4686608    .3775677    .1537714    1
1.89561 .779795 .756137 .359681 .4113679    .398888     .1897441    1
.784696 .000545 .63612  .148031 .0006939    .810658     .1886481    1
1.63006 .25147  .58731  .791278 .1542705    .3603002    .4854293    1
1.8412  .526846 .327903 .986448 .2861431    .1780925    .5357644    1
1.52932 .627659 .802862 .098797 .4104179    .5249804    .0646017    1

A continuación, en Stata (o lo que quiera)

reg suma x1 x2 x3

obtiene 1 para todos los $\beta$ 's como se anticipó y el error de redondeo a 0 para la constante. $R^2$ 's son todos 1. Pero

reg ones x1_proportion x2_proportion x3_proportion, noconst

Obtiene, de nuevo, todos los $\beta$ s son 1. Y si se permite la constante, se obtendrá simplemente 1 para la constante y 0 para todas $\beta$ s. En cualquier caso, de nuevo, $R^2$ 's son todos 1.

Creo que tienes alguna confusión sobre el significado de la regresión (o no estoy entendiendo la pregunta) aquí, así que voy a profundizar y especular un poco. Creo que en realidad quieres:

... Que x1 representa, por término medio, el 32,4% de la variable "suma", con una desviación típica del 19,6%.