Utilizando la respuesta de: Chris Taylor, en math stackexchange ( enlace ):
Que el precio de una opción en el strike $K$ sea dada por $V(K)$ . Decir que el precio es convexo en la huelga significa que
$$V(K-\delta) + V(K+\delta) > 2 V(K)$$
para todos $K>0$ y $\delta>0$ . Supongamos que lo contrario es cierto, es decir, que existen contratos de opciones negociables que vencen en la misma fecha, de manera que
$$V(K-\delta) + V(K+\delta) \leq 2 V(K)$$
Por lo tanto, compro un contrato en $K+\delta$ y uno en $K-\delta$ y financiar mi compra vendiendo dos de las opciones a $K$ (que puedo hacer, porque las dos opciones golpeadas en $K$ son al menos tan caras como las otras dos juntas).
Al vencimiento, el precio de la acción es $S$ y mi pago total es
$$P = (S-(K-\delta))^+ + (S-(K+\delta))^+ - 2(S-K)^+$$
Ahora hay cuatro regímenes:
- $S<K-\delta$ , lo que significa que $P=0$
- $K-\delta < S < K$ , lo que significa que $P=S-(K-\delta) > 0$
- $K < S < K+\delta$ , lo que significa que $P=S-K+\delta - 2(S-K)=K+\delta-S>0$
- $S>K+\delta$ , lo que significa que $P = S-K+\delta + S-K-\delta - 2(S-K) = 0$
Por lo tanto, tengo la posibilidad de obtener un beneficio, pero ninguna posibilidad de obtener una pérdida, lo que constituye un arbitraje. Como no existen arbitrajes, el precio de la opción debe ser convexo en el precio de ejercicio.
