Fijación de precios de las opciones mediante la función característica

Question

Actualmente estoy en una misión tratando de calcular los precios de las opciones utilizando el modelo aproximado de Heston. He descubierto que esto se suele hacer utilizando la función característica del modelo, pero debo admitir que no entiendo muy bien qué fórmulas son aplicables y cómo se derivan. Me siento bastante cómodo con las matemáticas, ya que soy licenciado en matemáticas aplicadas, pero me cuesta encontrar buenas referencias.

Por ejemplo, en el documento "Optimal Fourier inversion in semi-analytical option pricing" dicen que (donde $\varphi$ es la función característica del modelo):

"Conocer la función característica nos permite expresar el precio a plazo de una call europea con strike $K$ y la madurez $\tau$ de forma muy similar al precio Black-Scholes como $$ C(S,K,\tau) = F\Pi_1 - K\Pi_2, $$ con $F$ siendo el valor a plazo del subyacente y $$ \Pi_1 := \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}Re\left(\frac{e^{-iuk}\varphi(u-i)}{iu\varphi(-i)}du\right). $$ El logaritmo de la huelga se denota como $k=\ln(K)$ . [...]. Además, tenemos $$ \Pi_2 := \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}Re\left(\frac{e^{-iuk}\varphi(u)}{iu}du\right)." $$

¿Es esta fórmula aplicable a todo ¿modelos financieros? ¿Cómo se obtiene esta fórmula? ¿Cuáles son algunos buenos recursos para aprender más sobre esto, de forma estructurada y "matemática"?

Muchas gracias

Answer 1

La referencia más sencilla sería Derivative Analytics with Python -- simple, concisa y al punto sobre por qué esto funciona y cómo aplicarlo. También viene con el código de Python (mal ineficiente, pero código ilustrativo).

¿La clave de "cuándo" se aplica esto? Es útil cuando puedes escribir la función característica condicional como una función exponencialmente afín de las variables de estado. En los modelos de tiempo discreto, tienes entonces coeficientes que puedes sacar recursivamente del tiempo de maduración. Si no recuerdo mal, algo similar se aplica en tiempo continuo.

Sé que esta idea funcionará con Black-Scholes-Merton y con el modelo de Heston de 1993. También funciona con todos los llamados modelos GARCH afines en tiempo discreto (por ejemplo, Heston y Nandi, 2000). Pero NO funciona con un modelo no afín como el modelo de valoración de opciones GARCH de Duan de 1995 (igual que HN2000, pero la volatilidad entra en la ecuación de retorno de forma diferente). En este caso, su única opción es simular el modelo.

También hay que tener en cuenta que se puede escribir utilizando la parte imaginaria en lugar de la real en la integral, aunque es menos común. También puede consultar la página web del difunto Peter Christoffersen: tiene códigos de MATLAB para la valoración de opciones GARCH en los que hace lo que usted desea, pero en modelos de tiempo discreto.

Answer 2

Tal vez quiera echar un vistazo a este documento:

@ARTICLE{Bakshi2000a,
  author       = {Gurdip Bakshi and Dilip B. Madan},
  title        = {Spanning and Derivative-Security Valuation},
  journal      = {Journal of Financial Economics},
  year         = 2000,
  volume       = 55,
  pages        = {205--238},
  number       = 2
}