Si el reparto entre dos activos es un proceso OU, ¿qué procesos siguen los dos activos?

Question

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P}, (\mathcal{F}_{t})_{t\geq0})$ sea un espacio de probabilidad filtrado. Además, dejemos que $(S_{t}^{1},S_{t}^{2})_{t\geq0}$ ser dos activos (adaptados a la filtración, etc.). Definir $X_{t}=S^{1}_{t}-S^{2}_{t}$ . Si $X_{t}$ satisface la SDE:
$dX_{t}=\xi(\zeta-X_{t})dt+\sigma dW_{t}$
( $W_{t}$ es un $\mathbb{P}$ movimiento browniano)
entonces qué proceso hace $(S_{t}^{1},S^{2}_{t})$ (asumiendo condiciones razonables como la no negatividad)?

Answer 1

Si permitimos que las velocidades de reversión media sean idénticas, podríamos suponer procesos OU para los dos componentes:

Dejemos que

$$ \begin{align} dx_1&=\kappa_1(\theta_1-x_1)dt+\sigma_1dW_1\\ dx_2&=\kappa_2(\theta_2-x_2)dt+\sigma_2dW_2 \end{align} $$ con $E(dW_1dW_2)=\rho dt$ . Ahora dejemos que $z=x_1-x_2$ . Entonces, si $\kappa_1=\kappa_2=\kappa$ ,

$$ \begin{align} dz&=dx_1-dx_2\\ &=\kappa_1(\theta_1-x_1)dt+\sigma_1dW_1-\kappa_2(\theta_2-x_2)dt-\sigma_2dW_2\\ &=\kappa(\theta_1-x_1)dt+\sigma_1dW_1-\kappa(\theta_2-x_2)dt-\sigma_2dW_2\\ &=\kappa((\theta_1-\theta_2)-(x_1-x_2))dt+\sigma_1dW_1-\sigma_2dW_2\\ &\equiv\kappa(\theta_z-z)dt+\sigma_zdW_z \end{align} $$

donde $\theta_z=\theta_1-\theta_2$ y $\sigma_z^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2$ .