Duda sobre la relación de equivalencia

Question

En clase estuve tomando notas sobre las relaciones de equivalencia definidas como

Dada una relación genérica $R$ en $X$ , $xIy$ si ambos $xRy$ y $yRx$

Ahora bien, no entiendo muy bien la siguiente proposición:

Si $R$ (la relación original) es reflexivo y transitivo, entonces $I$ (la relación derivada) es reflexivo, simétrico y transitivo.

Entiendo que esto es un caso de $\succsim $ donde las relaciones derivadas son $\sim$ y $\succ$ pero la proposición sólo es válida para la primera (la preferencia estricta obviamente no es simétrica). ¿Por qué es así?

Además, ¿cómo puedo demostrar que $R$ tener las dos propiedades lleva a $I$ que tienen las mismas dos propiedades + la simetría?

Answer 1

Si ambos $xRy$ y $yRx$ $\forall x,y \in X$ entonces la relación de indiferencia $I$ es simétrica por definición. No todas las relaciones simétricas son relaciones de equivalencia. Sin embargo, se da que $R$ también es reflexivo y transitivo. Así que tenemos que $I$ es simétrica, reflexiva y transitiva. Por lo tanto, $I$ o $\sim$ es una relación de equivalencia.

Puede comprobar que $\sim$ es una relación de equivalencia leyendo las definiciones de las tres propiedades. $R$ o $\succsim$ es una relación de preferencia (débil), también conocida como preorden total. Los preórdenes totales son transitivos, completos y, por tanto, reflexivos.

Hay que tener en cuenta que la reflexividad y la transitividad no implican necesariamente simetría: $R = \{(x,x), (y,y), (x,y)\}$ dado $X = \{x,y\}$ es claramente reflexivo y transitivo pero no simétrico porque $xRy$ pero no $yRx$ .

Answer 2

Creo que sus preguntas son:

Q1. ¿Por qué es $\succ$ ¿No es simétrico?

Q2. ¿Por qué es $\sim$ (a) simétrico; (b) reflexivo; y (c) ¿Transitivo?

Respuestas:

A1. Supongamos que $x \succ y$ . Entonces por Definición 4 (consulte la configuración básica y las definiciones más abajo), $x \succsim y$ y $y \not\succsim x$ . Por lo tanto, por la misma definición, $y \not\succ x$ . Así, $\succ$ no es simétrico.

A2. Dejemos que $x,y,z\in X$ .

A2(a) $\hspace{10pt}$ $x\sim y$ $\hspace{10pt}$ $\iff$ $\hspace{10pt}$$ xsuccsim y$ y $y\succsim x$ (Definición 3) $\hspace{10pt}$ $\iff$ $\hspace{10pt}$$ y\sim x$ .

A2(b) Por Definición 2 , $x \succsim x$ . Y así, por Definición 3 , $x \sim x$ .

A2(c) Supongamos que $x\sim y$ y $y\sim z$ . (Demostraremos que $x\sim z$ .)

Por Definición 2 tenemos $x\succsim y$ y $y\succsim z$ . Y ahora por la transitividad de $\succsim$ tenemos $x\overset{1}{\succsim} z$ .

Del mismo modo, también tenemos $y\succsim x$ y $z\succsim y$ . Y así también por la transitividad de $\succsim$ tenemos $z\overset{2}{\succsim} x$ .

Dado $\overset{1}{\succsim}$ y $\overset{2}{\succsim}$ , por Definición 3 tenemos $x\sim z$ .

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Configuración básica y definiciones.

Definición 1. Una relación (binaria) $R$ (en un conjunto $X$ ) es:

• Simétrico si para todo $x,y\in X$ , $xRy \iff yRx$ ;

• Reflexivo si para todo $x\in X$ , $xRx$ ;

• Transitivo si para todo $x,y,z\in X$ , $xRy$ y $yRz$ implica $xRz$ .

Dejemos que $X$ sea nuestro conjunto de alternativas.

Definición 2. Dejemos que $\succsim$ sea una relación reflexiva y transitiva sobre $X$ .

Interpretamos $\succsim$ como la relación de preferencia débil.

Definición 3. $x \sim y$ si $x \succsim y$ y $y \succsim x$ .

Interpretamos $\sim$ como la relación de indiferencia.

Definición 4. $x \succ y$ si $x \succsim y$ y $y \not\succsim x$ .

Interpretamos $\succ$ como la relación de preferencia estricta.