Calcular el precio en una economía de intercambio puro

Question

El problema es sencillo, aunque no estoy muy seguro de la respuesta.

Consideremos una economía en la que hay dos consumidores y dos bienes: $$U_1(x_{11}, x_{21}) = x_{11}$$ $$U_2(x_{12}, x_{22}) = x_{22}$$ $X_1 = X_2 = R_2^+$ ; $e_i 0, i = 1, 2.$

¿Para qué valores de las dotaciones existe un equilibrio? ¿Cuáles son los precios en los casos en que existe un equilibrio?

Ahora no podemos utilizar la condición de tangencia aquí para calcular la asignación competitiva. Intuitivamente, parece que habría un intercambio de mercancías. A mí me parece que habría diferentes casos.

Caso 1: El individuo 1 tiene ambos $x_1$ y $x_2$ mientras que el individuo 2 sólo tiene $x_2$ . Como el individuo 1 sólo valora $x_1$ El precio de $x_1$ en este caso sería 0, ya que realmente no necesita comerciar. No estoy muy seguro de cómo calcular el precio de $x_2$ sin embargo.

Caso 2: Del mismo modo, el individuo 1 tiene algunos $x_1$ y no $x_2$ . El individuo 2 tiene algo de ambos. En este caso, el precio de $x_2$ debería ser cero, pero de nuevo, no estoy seguro del precio de $x_1$ . (Aunque no estoy seguro de que importe, ya que normalmente siempre calculamos los precios relativos)

Caso 3: Ambos individuos tienen cierta cantidad de ambos $x_1$ y $x_2$ . En este caso, el ingreso del exceso de la mercancía no requerida por el individuo debe ser igual al precio de la mercancía que necesita comprar. El precio relativo en este caso resulta ser $\frac{X-x_{11}}{x_{21}}$ .

¿Tiene sentido la respuesta?

Answer 1

Dejemos que $\omega_1 = (\omega_{1}^X, \omega_{1}^Y)$ y $\omega_2 = (\omega_{2}^X, \omega_{2}^Y)$ sea la dotación de los dos consumidores, respectivamente. Además, sus funciones de utilidad son $u_1(x_1, y_1) = x_1$ y $u_2(x_2, y_2) = y_2$ respectivamente.

Suponemos que existe una cantidad positiva de ambos bienes en la economía, es decir $\omega_{1}^X + \omega_{2}^X >0$ y $\omega_{1}^Y + \omega_{2}^Y > 0$ .

Demostraremos que el equilibrio competitivo existe si y sólo si o bien ( $\omega_1^Y>0$ y $\omega_2^X>0$ ) o ( $\omega_1^Y=0$ y $\omega_2^X=0$ )

Prueba: Primero mostraremos que el equilibrio competitivo existe si ( $\omega_1^Y>0$ y $\omega_2^X>0$ ) se mantiene. Consideremos $(p_X, p_Y=1)$ valor de la dotación del individuo $1$ es $p_X\omega_1^X + \omega_1^Y$ y exigirá sólo lo bueno $X$ :

$x_1^d = \dfrac{p_X\omega_1^X + \omega_1^Y}{p_X} $ .

Claramente,

$x_2^d = 0 $

Para encontrar el precio de equilibrio $p_X$ Sólo tenemos que resolver: $\dfrac{p_X\omega_1^X + \omega_1^Y}{p_X} = \omega_1^X + \omega_2^X $ y obtendremos $p_X = \dfrac{\omega_1^Y}{\omega_2^X}$ . Por lo tanto, el precio de equilibrio competitivo es $(p_X = \dfrac{\omega_1^Y}{\omega_2^X}, p_Y=1)$ y la asignación es $(x_1, y_1) = (\omega_1^X + \omega_2^X, 0)$ y $(x_2, y_2) = (0,\omega_1^Y + \omega_2^Y)$ .

Ahora podemos demostrar que el equilibrio competitivo existe si ( $\omega_1^Y=0$ y $\omega_2^X=0$ ). En este caso la asignación de la dotación $(x_1, y_1) = (\omega_1^X, 0)$ y $(x_2, y_2) = (0, \omega_2^Y)$ es el equilibrio competitivo soportado por cualquier precio de la forma $(p_X>0, p_Y=1)$ .

Ahora podemos demostrar que el equilibrio competitivo no existe si o bien ( $\omega_1^Y=0$ y $\omega_2^X>0$ ) o ( $\omega_1^Y>0$ y $\omega_2^X=0$ ).

Lo mostraremos para el caso de ( $\omega_1^Y=0$ y $\omega_2^X>0$ ), la prueba es análoga para el otro caso. En primer lugar, observe que ninguno de los precios puede ser $0$ en un equilibrio competitivo porque $u_1$ es estrictamente creciente en $x_1$ y $u_2$ es estrictamente creciente en $y_2$ . Por lo tanto, procediendo de la misma manera que antes, obtenemos la demanda total de $X$ como $x_1^d = \dfrac{p_X\omega_1^X}{p_X} = \omega_1^X$ porque sólo 1 demanda $X$ . Claramente, $x_1^d = \omega_1^X< \omega_1^X + \omega_2^X$ . Por lo tanto, el equilibrio competitivo no existe en este caso. Del mismo modo, también podemos demostrarlo para el caso de ( $\omega_1^Y>0$ y $\omega_2^X=0$ ).