Soluciones de esquina para la eficiencia de Pareto

Question

He estado revisando los cálculos para encontrar el equilibrio walrasiano y las asignaciones eficientes de pareto.

Supongamos que estamos en un entorno con dos consumidores, $A$ y $B$ y dos bienes, $x$ y $y$ . Desde este artículo en wikipedia, tenemos que una condición suficiente para la eficiencia de pareto es que las tasas marginales de sustitución sean iguales para ambos consumidores.

Sin embargo, a efectos prácticos, esto sólo parece útil cuando las funciones de utilidad son diferenciables. Suponiendo que las preferencias son continuas y localmente no saturadas, ¿existe alguna regla "rápida" para la eficiencia de pareto cuando las funciones de utilidad no son diferenciables?

Por ejemplo con las preferencias de leontieff $u(x,y) = \min\{ x,2y \}$ en cuyo caso podría haber una solución de esquina.

Answer 1

Dejemos que $F$ sea el conjunto de asignaciones factibles, es decir, los puntos de la caja de Edgeworth. Considere cualquier asignación $((x_1, y_1), (x_2, y_2)) \in F$ Para comprobar la eficacia de esta asignación, considere los dos conjuntos:

• $B_1 = \{((x_1', y_1'), (x_2', y_2'))\in F | u_1(x_1', y_1') \geq u_1(x_1, y_1) \}$ (Nivel superior establecido para el individuo 1)
• $B_2 = \{((x_1', y_1'), (x_2', y_2'))\in F | u_2(x_2', y_2') \geq u_2(x_2, y_2) \}$ (Nivel superior fijado para el individuo 2)

Si en cada asignación $((x_1', y_1'), (x_2', y_2')) \in B_1\cap B_2$ tenemos

• $u_1(x_1', y_1') = u_1(x_1, y_1)$ y
• $u_2(x_2', y_2') = u_2(x_2, y_2)$

entonces la asignación $((x_1, y_1), (x_2, y_2))$ es Pareto eficiente. Si no lo es, $((x_1, y_1), (x_2, y_2))$ no es Pareto eficiente.