¿Por qué se promedian los rendimientos activos mensuales? ¿No deberían ser multiplicados?
Sus rendimientos son retornos del registro y asume que se distribuyen normalmente, por lo que son aditivos. Suponer que los rendimientos logarítmicos se distribuyen normalmente implica que los rendimientos simples son lognormales y, por tanto, no son aditivos sino multiplicativos.
Si alguno de estos meses tuviera un -100% entonces los rendimientos de todos los demás meses son irrelevantes para un inversor que mantuviera la cartera durante el periodo de tiempo.
Si uno de varios meses tiene un simple retorno de $-100\%$ El simple retorno para el período completo es $-100\%$ (ruina). Equivalentemente, el rendimiento logarítmico será $-\infty$ y la media aritmética será la misma, y no estará influenciada por los otros rendimientos, por lo que es intuitivamente consistente.
Explicación
Si suponemos que el proceso de precios $S_t$ sigue un movimiento geométrico browniano con deriva y volatilidad constantes (precios lognormales), entonces log $\tau$ -La rentabilidad del período viene dada por el modelo $r_{t+\tau}:=\ln(S_{t+\tau}/S_t) = m\tau + \sigma \sqrt{\tau}Z_{t+1} \sim \mathcal{N}(m\tau, \tau\sigma^2)$ .
Ahora asume que el no observable la deriva mensual de la cartera es $m:=\mathbb{E}[r]=10\%$ y la volatilidad $\sigma:=20\%$ . Es decir, $m$ y $\sigma$ son la deriva y la volatilidad mensuales, y como estamos viendo los rendimientos mensuales, $\tau=1$ .
Por lo tanto, con los parámetros mensuales y el rendimiento mensual, tenemos que $r_{t+1}:=\ln(S_{t+1}/S_t) = m + \sigma Z_{t+1} \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ .
A continuación, simula los rendimientos mensuales de este modelo, y luego estima los parámetros (que en realidad no podemos observar):
$$ \hat{m} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n r_{i} = \frac{r_{1} + r_{2} + ... + r_{n}}{n} = m + \sigma\sum_{i=1}^n Z_i. $$
Obsérvese también que debido a la suma de los rendimientos logarítmicos $\hat{m} = r_{0:n}/n$ es decir, el rendimiento de todo el período dividido por el número total de meses.
Nuestra estimación de $\hat m$ es una estimación insesgada de la deriva (rendimiento mensual esperado) desde $\mathbb{E}[\hat{m}]=m$ .
Nótese que si hiciéramos lo mismo con los rendimientos simples, nuestro estimador estaría sesgado.
Ahora bien, si se quiere conocer la rentabilidad real (lognormal) simple de una inversión sobre $n$ meses, tendrá que volver a transformar la rentabilidad logarítmica en rentabilidad simple. En el caso de los rendimientos pequeños, esto no es necesario, ya que $R \approx r$ pero para horizontes más largos deberíamos hacerlo bien
$$ R_{0:n} = \prod_{i=1}^n (1+R_i)-1 = \exp \left(\sum_{i=1}^n r_i\right)-1 = \exp(r_{0:n})-1 = \exp(n\hat{m})-1. $$
Si alguno de los rendimientos simples $R_i$ est $-100\%$ entonces $R_{0:n}=-100\%$ . Esto es lo mismo que si cualquier log-return es $-\infty$ . Obsérvese que la observación de un mes con menos 100 pct es un evento que no ocurrirá dadas las hipótesis del modelo.
