Estoy tratando de resolver un juego de dos jugadores con restricciones en las variables de decisión. La estructura general es algo así: $$\max_{x_1} f(x_1, x_2)$$ $$\max_{x_2} g(x_1, x_2)$$ con sujeción a $$x_1 + x_2 \leq x_0$$ ¿Cuál podría ser un enfoque de solución? o cualquier dirección a un recurso para resolver tales problemas sería muy apreciado.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Normalmente, en la teoría de los juegos (no cooperativos), se asume que los jugadores realizan sus acciones de forma independiente.
En este sentido, el conjunto de acciones factibles de un jugador debe ser independiente de la acción realizada por el otro jugador. En su caso, esto no es así, ya que $x_1$ sólo puede tomar valores en $[0, x_0 - x_2]$ y $x_2$ sólo puede tomar valores en $[0, x_0 - x_1]$ (suponiendo que ambos $x_1$ y $x_2$ sea mayor o igual a cero).
¿Cómo sabe el jugador 1 que una elección mayor que $x_0 - x_2$ no está permitido si no conoce la acción $x_2$ del jugador 2?
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Una solución podría ser definir $f(x_1, x_2)$ y $g(x_1, x_2)$ en todo el conjunto $[0,x_0]\times[0,x_0]$ pero definir las funciones de pago para que sean muy negativas, digamos, $-\infty$ cuando $x_1 + x_2 > x_0$ . Definir: $$ \tilde f(x_1, x_2) = \begin{cases} f(x_1, x_2) &\text{ if } x_1 + x_2 \le x_0 \\ -\infty &\text{ if } x_1 + x_2 > x_0 \end{cases} $$ $$ \tilde g(x_1, x_2) = \begin{cases} f(x_1, x_2) &\text{ if } x_1 + x_2 \le x_0 \\ -\infty &\text{ if } x_1 + x_2 > x_0 \end{cases} $$ Los problemas del jugador 1 y del jugador 2 se convierten entonces en: $$ \max_{x_1} \tilde f(x_1, x_2) \text{ s. t. } x_1 \in [0, x_0]\\ \max_{x_2} \tilde g(x_1, x_2) \text{ s.t. } x_2 \in [0, x_0]. $$ Obsérvese que un equilibrio de Nash $(x_1^\ast, x_2^\ast)$ para dicho juego (si existe) siempre tendrá $x_1^\ast + x_2^\ast \le x_0$ ya que, de lo contrario, todos los jugadores podrían mejorar sus ganancias satisfaciendo la restricción.
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Una segunda opción es definir simplemente el problema de optimización de ambos individuos condicionado a la acción del otro jugador: $$ \max_{x_1} f(x_1, x_2) \text{ s.t. } x_1 \le x_0 - x_2\\ \max_{x_2} g(x_1, x_2) \text{ s.t. } x_2 \le x_0 - x_1. $$ El "equilibrio de Nash" de este juego será el mismo que para el caso anterior.
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De todos modos, si las funciones de pago $f$ y $g$ son continuos y cóncavos en sus propias estrategias se puede utilizar el teorema del punto fijo de Kakutani para demostrar que siempre habrá un equilibrio de Nash, es decir, una estrategia $(x_1^\ast, x_2^\ast)$ tal que $x_1^\ast+ x_2^\ast \le x_0$ y: $$ f(x_1^\ast, x_2^\ast) \ge f(x_1, x_2^\ast) \text{ for all } x_1 \le x_0 - x_2^\ast\\ g(x_1^\ast, x_2^\ast) \ge f(x_1^\ast, x_2) \text{ for all } x_2 \le x_0 - x_1^\ast. $$
