Definamos el ratio P/E como $$\phi(P,E)=\frac{P}{E},E\ne{0},$$ donde $P$ y $E$ son variables aleatorias. Cualquier función de los datos es una estadística, esa es la definición de una estadística, así que $\phi$ es una estadística.
Bajo suposiciones leves, se puede demostrar que $P$ se distribuye normalmente alrededor del equilibrio. Sin embargo, supongamos simplemente que $P$ se distribuye normalmente para abreviar. Asimismo, es razonable creer que el Consejo de Administración y la dirección de las empresas a las que se dirige $E$ como $E^*$ . Dependiendo del método utilizado para formar las estimaciones, $E$ también puede estar normalmente distribuido alrededor del objetivo. Si no es así, acabaremos con un dolor de cabeza, pero seguiremos teniendo un problema solucionable, aunque no analítico. De nuevo, para ser breves, supongamos que $E$ se distribuye normalmente alrededor del objetivo. Me gustaría señalar que esta afirmación no tiene por qué ser cierta.
Por teoremas bien conocidos en el campo de la probabilidad y la estadística, $\phi$ no puede tener una media o una varianza si es el cociente de dos distribuciones normales. No hay una media a la que recurrir. Exigir el truncamiento en cero, aunque algunas cosas han traspasado el límite de cero en ocasiones, y asumir una restricción presupuestaria estocástica no altera este resultado. Lo que sí hace es alargar la discusión.
Dicho esto, en supuestos leves, la mediana o la moda serían la cuenca de atracción. De nuevo, la longitud hace que esa discusión sea prohibitiva en un espacio tan corto. No obstante, lo que se dice básicamente es que si hay una estacionaria $\mu$ en alguna parte del sistema, aunque no sea una media, entonces impulsa el sistema.
Véase, por ejemplo,
Weisstein, Eric W. "Distribución de proporción normal". De MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html aunque esto simplifica demasiado la cuestión.
Bajo suposiciones leves, nunca fue una reversión de la media. En cambio, se parece al Problema del Faro de la Gaviota y hay una mediana pero llamándola revertir podría ser matemáticamente engañoso. En su lugar, sería mejor pensar en términos de un balancín y la mediana es una instancia trivial que el balancín está nivelado. El problema también está relacionado con el problema del doble péndulo de Poincare, que ayudó a poner en marcha la teoría del caos.
Ver
Gull, S.F. (1988) Bayesian Inductive Inference and Maximum Entropy. Kluwer Academic Publishers, Berlín.
También debería poder recoger este método en cualquier libro de texto de primer semestre de estadística matemática para estudiantes de estadística, ya que a menudo se asigna como tarea debido a sus extrañas propiedades.
Creo que esta versión del libro de texto de estadística de Freund asigna esta pregunta como tarea.
https://smile.amazon.com/John-Freunds-Mathematical-Statistics-6th/dp/013123613X/ref=sr_1_9?crid=3GUMF7LFT4KPE&keywords=freund+statistics&qid=1653020853&sprefix=freund+statistics%2Caps%2C201&sr=8-9
Lo citaría debidamente con números de página, pero no recuerdo dónde está mi ejemplar. No está en una estantería.
También,
Curtiss, J.H. (1941) On the Distribution of the Quotient of Two Chance Variables. Annals of Mathematical Statistics, 12, 409-421.
