No estoy tan seguro de la aproximación de la ATM de la otra respuesta (es decir, no creo que sea una gran aproximación). Creo que viene de lo siguiente para $T \ll 1$ : \begin{align} E \left[ \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2_u \, du \right] &\approx E \left[ \frac{1}{T} \int_0^T \left(\sigma_0 + d\sigma_0 \right)^2\, du \right] \\ &\approx \frac{1}{T}\int_0^T \sigma_0^2 \, du \\ &\approx I^2_{ATM} \end{align} ya que se puede demostrar rigurosamente que $$\lim_{u \rightarrow 0} \sigma_u = I_{ATM}$$
Sería mejor utilizar la expresión bastante famosa para la huelga de intercambio de varianza debida a Matytsin. Es (bajo la medida de precios): $$ E \left[ \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2_u \, du \right] = \int_\mathbb{R} I^2(z) N'(z) dz $$ donde $z$ es el Black-Scholes ` $d_2$ ' medida de dinero, $$ d_2 := \frac{\log(S_t/K)}{I\sqrt T} - \frac{I\sqrt T}{2} $$ y $N'(z)$ es la densidad normal estándar.
Lo que se puede hacer entonces es expandir la volatilidad implícita en el integrando alrededor de $z=0$ , $$ I^2(z) = I^2(0) + z(I^2)'(0) + \frac{z^2}{2} (I^2)''(0) + \cdots $$ y sustituir este término de nuevo en la integral. El término de menor orden es entonces $$ E \left[ \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2_u \, du \right] \approx I^2(0) $$ y ya puedo decir que no es una aproximación lo suficientemente buena ya que $I(0)$ es aproximadamente el golpe del swap de volatilidad, por lo que la aproximación de menor orden ignora la corrección de convexidad. Por lo tanto, hay que pasar al segundo orden (se pueden ignorar los términos con $z^n$ donde $n$ es impar): $$ E \left[ \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2_u \, du \right] \approx I^2(0) + \frac{ (I^2)''(0)}{2} \int_{\mathbb R} z^2 N'(z) dz $$ Esta es una aproximación aceptable y puede utilizarse para los casos no triviales $T$ valores como 1 semana o 1 mes y quizás incluso mayores $T$ . Obsérvese también que esta aproximación da automáticamente una expresión para la corrección de la convexidad.
