Voy a comprar un artículo (que valoro en, digamos, un millón de dólares) por \$ $100$ . Mi amigo tiene una oferta especial que caduca hoy, y que no puede volver a utilizar a no ser que la utilice yo, que me sale el artículo por \$. $90$ . Sin embargo, al principio exige que le dé $x \in (0,10)$ dólares para activar esta oferta. En principio Puedo rechazar y contraofertar, y él puede rechazar mi contraoferta y volver a ofrecerla, sin descuento, ad infinitum . ¿Qué modelo se puede utilizar para resolver esto y encontrar un equilibrio? Obviamente, ambos preferimos estrictamente llegar a un acuerdo. Estaba pensando que tal vez haya es algo de descuento hacia el final del tiempo de caducidad, pero todavía no tiene todo el sentido... [Situación de la vida real entre jugadores racionales, que maximizan la utilidad y el riesgo].
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Con el descuento, la situación es un clásico Juego de negociación de Rubinstein en el que dos jugadores hacen ofertas alternas para repartir un pastel cada vez más pequeño.
Sin descuento, no estoy seguro de que exista necesariamente un equilibrio. Tal vez se puedan imponer restricciones a las ofertas realizadas en cada ronda, por ejemplo, una oferta en la ronda $t$ debe estar en un rango fijado por las ofertas realizadas en la ronda $t-1$ .
El descuento no funciona así. El descuento significa cuánto se descuenta el futuro en relación con el presente, por ejemplo, recibir \$1 tomorrow is the equivalent of receiving \$ 0,90 hoy.
Lo que usted describe es una cierta noción de "importancia de llegar a un acuerdo" porque el plazo se acerca. Sin embargo, en términos de modelización esto requiere un horizonte finito, lo que contradice tu suposición ad infinitum. Por lo tanto, supongo que una pregunta es si tienes un horizonte finito o infinito.
Entiendo el escenario de la vida real: tenéis que decidir antes de mañana (la fecha límite), pero mientras tanto podéis alternar haciendo ofertas a unos y otros. En este caso, el horizonte es finito, aunque el intervalo entre ofertas es corto.
En cualquier caso, creo que este juego es una ligera variación del juego estándar de ofertas alternas (a'la Stahl-Rubinstein) ya que el vendedor no tiene un uso para el bien--- como entiendo de su descripción. Esto es importante en el modelo de horizonte finito con periodos pares, donde el comprador hace la última oferta (ver más abajo).
A continuación describo la versión de horizonte finito.
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Jugadores y utilidades: Usted es el comprador, y el artículo vale \$10 to you, and \$ 0 a tu amigo (el vendedor). Ambos tienen un factor de descuento común $\delta$ (nota: si $\delta=1$ entonces valoras igual el futuro y el hoy). Si se llega a un acuerdo en el precio $P$ en el periodo t, entonces
- El pago del comprador en términos actuales es $V_B = \delta^{t-1} (10-P)$ ,
- El pago del vendedor en términos actuales es $V_S = \delta^{t-1} P$ .
- NOTA: Supongo que el vendedor no valora el artículo, porque por su descripción parece que es así.
- Acciones/Ofertas: El juego comienza en t=1, y dura T períodos. El vendedor (su amigo) hace la primera oferta. El comprador acepta o rechaza. Si el comprador acepta, el juego termina. Si el comprador rechaza, hace una contraoferta. El vendedor acepta o rechaza... y así sucesivamente... hasta que se llega a un acuerdo o se alcanza el periodo T sin acuerdo.
Como el horizonte es finito, podemos resolver el juego por inducción hacia atrás.
- T. Impar
En el último periodo el vendedor (tu amigo) hace la oferta. Sólo pedirá $P_T=\\\$ 10$ . Y usted aceptará dar pagos $V_{B,T}=0, V_{S,T}=10$ .
En el periodo T-1, el comprador (usted) se anticipa y ofrece $P_{T-1}$ de tal manera que el vendedor es indiferente entre recibir $P_{T-1}$ hoy y $P_T$ mañana. Así, $P_{T-1}=\delta P_T$ . Pagos $V_{B,T-1}=10(1-\delta), V_{S,T-1}=10\delta$ .
En el periodo T-2, el vendedor se anticipa y ofrece $P_{T-2}$ de tal manera que el comprador es simplemente indiferente entre aceptar $P_{T-2}$ y ofreciendo $P_{T-1}$ próximo período que se aceptará. Así, $10-P_{T-2}=\delta(10(1-\delta)$ y $P_{T-2} = 10(1-\delta(1-\delta))$ . Pagos: $V_{B,T-2}=10\delta(1-\delta), V_{S,T-2}=10(1-\delta(1-\delta))$ .
Por un razonamiento análogo, en T-3 el comprador ofrece $P_{T-3}=10\delta(1-\delta(1-\delta))$ , que se acepta dando los pagos $V_{B,T-3}=10(1-\delta(1-\delta(1-\delta))), V_{S,T-3}=10\delta(1-\delta(1-\delta))$
Y así sucesivamente hasta llegar al periodo 1, donde el vendedor ofrece $P_1=10(1+\sum_{i=1}^{T-1}(-\delta)^i)=10(1-\delta+\delta^2+...+\delta^{T-1})$ y es aceptado por el comprador. Pagos: $V_B=10-P_1, V_S=P_1$ .
Si $\delta=1$ el vendedor ofrece $P_1=10$ que se acepta inmediatamente. Obsérvese que como T es impar, T-1 es par y $P_1=10(1-\delta+\delta^2+...+\delta^{T-1})=10$ ya que todos los $\delta$ s se anulan.
(En general, en los períodos impares T-t, cuando el vendedor hace la oferta, el vendedor ofrece $P_{T-t} = 10(1+\sum_{i=1}^{t}(-\delta)^i)=10(1-\delta+\delta^2-\delta^3+....)$ .
En los períodos pares T-t, el comprador ofrece $P_{T-t}=10\delta(1+\sum_{i=1}^{t-1}(-\delta)^i)$ que se acepta).
- Incluso T
Como el vendedor hace las ofertas en los periodos impares, y el comprador en los pares, el comprador puede hacer la última oferta.
En t=T, el comprador ofrece $P_T=0$ , que se acepta dando los pagos $V_B=10, V_S=0$ . NOTA: Aquí la suposición de que el vendedor no se preocupa por el bien muerde. Si el vendedor tiene valor para el artículo, entonces $P_T$ sería igual al valor del vendedor.
En t=T-1, por un razonamiento análogo al anterior, el vendedor ofrece $P_{T-1}$ para que el comprador sea indiferente entre $P_{T-1}$ hoy y $P_{T}$ próximo período. Entonces, ella resuelve $10-P_{T-1}=10\delta$ , lo que da $P_{T-1}=10(1-\delta)$ . Los pagos son $V_B=10\delta, V_S=10(1-\delta)$ .
En t=T-2, el comprador ofrece $P_{T-2}=\delta P_{T-1}=10\delta(1-\delta)$ para que el vendedor sea indiferente entre aceptar $P_{T-2}$ hoy y ofreciendo $P_{T-1}$ mañana (que sería aceptado). Por lo tanto, los pagos son $V_B=10(1-\delta(1-\delta)), V_S=10\delta(1-\delta)$ .
Y así sucesivamente hasta llegar al periodo 1, en el que el vendedor hace la primera oferta. Recuerda que este juego termina con el comprador haciendo la última oferta.
El vendedor ofrece $P_1=10(1+\sum_{i=1}^{T-1}(-\delta)^i)=10(1-\delta+\delta^2+...+\delta^{T-1})$ y es aceptado por el comprador. Pagos: $V_B=10-P_1, V_S=P_1$ .
Supongamos de nuevo $\delta=1$ . Ahora bien, desde $T-1$ es impar, tenemos $P_1=0$ .
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Conclusión: Horizonte finito y $\delta=1$ para ambos jugadores, tenemos la ventaja del último movimiento, ya que ambos jugadores son infinitamente pacientes.
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Horizonte infinito: $\delta=1$ es un caso límite en el que ambos se reparten a partes iguales.
Lecturas útiles sobre Stahl-Rubinstein:
(Horizonte finito) https://cs.uwaterloo.ca/~klarson/teaching/W06-886/Rubinstein.pdf
(Horizonte finito) https://sites.duke.edu/niou/files/2011/05/Lecture-6-Bargaining.pdf
(Horizonte infinito) https://web.stanford.edu/~jdlevin/Econ%20203/RepeatedGames.pdf
