producción de stone geary y equilibrios múltiples en un modelo simple de solow ¿Significan algo las raíces complejas?

Question

He estado estudiando un modelo simple de solow con tecnología de producción de stone geary y ley de movimiento del capital especificado de la siguiente manera:

$$f(k_t)=(k_t-\bar{k})^{0.5}$$ $$k_{t+1}=(1-\delta)k_t+sf(k_t)$$ $$k_0>\bar{k}$$

donde $\bar{k}$ es un requisito de entrada para nuestra tecnología de producción. La inspección visual con algunos valores nos da la imagen de abajo. Matemáticamente, sin embargo, me he dado cuenta de que puede haber algunos problemas. si derivamos la ecuación de solow de nuestra ley del movimiento restando $k_t$ de ambos lados de nuestra ley de movimiento y y sub en nuestra función de producción obtenemos: $$(1-\delta)k_t+s(k_t-\bar{k})^{0.5}-k_t=k_{t+1}-k_t$$ simplificando y observando en estado estacionario que $k_{t+1}-k_t=0$ nos encontramos con que: $$-\delta k_t+s(k_t-\bar{k})^{0.5}=0 $$ reordenando aún más obtenemos una cuadrática. $$\left(\frac{\delta}{s}\right)^2k_t^2-k_t+\bar{k}=0$$ . Observando la fórmula cuadrática observamos que nuestros estados estables son: $$k_t^*=\frac{1\pm\sqrt{1-4\left(\frac{\delta}{s}\right)^2k_0}}{2\left(\frac{\delta}{s}\right)^2}$$

Inmediatamente veo que para un problema tan sencillo puede no existir solución porque nuestras raíces pueden ser complejas. Sin embargo, mirando este cuadro debería haber una solución para lo que es el caso más simple de equilibrios múltiples en un modelo no teórico de juegos.

¿Las raíces complejas plantean un problema a la hora de identificar múltiples estados estables y, si es así, cuál es la solución (si es que hay alguna)?

Answer 1

Cuando hablamos de nivel de capital en estado estacionario, hablar en términos de números complejos nunca tiene sentido. Lo que esta solución para el estado estacionario $k^*$ nos dice es:

1. Es posible que no exista un único estado estacionario si $4\left(\frac{\delta^2}{s^2}\right)k_0>1$
2. Si $4\left(\frac{\delta^2}{s^2}\right)k_0<1$ hay dos estados estables únicos.

La estabilidad de los equilibrios es otra historia, pero lo que nos dice este modelo es que hay al menos dos estados estables y que las soluciones complejas no tienen sentido.