Función de utilidad esperada y seguro a todo riesgo

Question

Bob es un maximizador de la utilidad esperada con una función de utilidad $u(x) = e^{ax}$ , donde $a > 0$ es un parámetro. Bob tiene riqueza $w$ . Hay dos estados del mundo, uno bueno y otro malo. La probabilidad de que el estado sea malo es $$ . Si el estado es malo, Bob se enferma, y necesitaría gastar una cantidad $L$ en su salud. Existe una póliza de seguro médico disponible que cubre totalmente los gastos de asistencia sanitaria en caso de enfermedad. El precio de la póliza es $P$ .

1. Encuentra el coeficiente de aversión al riesgo absoluto de Bob
2. Encuentre el precio máximo $ \overline{P}$ Bob estaría dispuesto a pagar el seguro
3. ¿Cómo es que $\overline{P}$ cambia con los parámetros w, L y

Así que mi intento fue para la primera fue que como el coeficiente de aversión al riesgo absoluto

1. $u'(w)= ae^{-aw}$

$u''(w)= -a^2e^{-aw}$

Por lo tanto, $A(w) = \frac{-a^2e^{-aw}}{ae^{-aw}} = a$

2. $\max_P \pi u(w-L-P+L)+(1-\pi)u(w-P)$

$=\max_P \pi u(w-P)+(1-\pi)u(w-P)$

$=\max_P u(w-P)$

A partir de aquí me pareció raro sé que esto es un seguro completo, pero entonces cuando la ecuación de optimización sale así ¿cómo se procede?

También para la pregunta 3, cómo encontraría el cambio de P en función de L y $\pi$ Si se quita así. Por favor, echa una mano para ayudar a los Genios de la Economía.

Answer 1

Pista para la parte 2: Compara la utilidad esperada de Bob cuando no tiene seguro (piensa en esto como $P=0$ ) y cuando tiene un seguro a todo riesgo a precio $P$ . Para que el seguro sea preferible, $P$ debe ser tal que no esté peor con seguro que sin él. $\overline P$ es el precio que le hace indiferente entre tener o no tener un seguro.

Sugerencia para la parte 3: En la parte 2 deberías obtener $\overline P$ en función de $L, w, \pi$ . Basta con tomar derivadas parciales con respecto a estas variables para examinar sus efectos.