¿Cómo representar la función de elasticidad con la demanda en el eje X? ¿Cómo transformar la fórmula de la elasticidad a este efecto?

Question

La fórmula de la elasticidad precio de la demanda utiliza el precio como variable independiente.

Pero me pregunto qué aspecto tiene el gráfico de la elasticidad en un sistema de coordenadas de microeconomía ordinario, donde la demanda está en el eje X.

Después de reflexionar un poco, me parece que mi problema consiste en : cómo convertir la fórmula de elasticidad (en la que el insumo es el precio) en una fórmula equivalente en la que el insumo (variable indep.) es la demanda . Porque me parece que sólo la fórmula transformada sería adecuada para la representación microeconómica ordinaria ( con la demanda en el eje X).

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Mi objetivo es visualizar la gráfica de la función de elasticidad para una curva de demanda lineal .

El problema al que me enfrento es que el gráfico de la función de elasticidad que he elaborado no me resulta familiar.

Supongo que mi fórmula para la función de elasticidad contiene un error, pero no lo localizo.

Esto es lo que he hecho (y añado una imagen de Desmos abajo).

(1) Parto de una función de demanda ( con el precio como variable independiente) :

$$D(x)= a-bx$$ .

(2) Transformo esta función en una función de precio (con la demanda como variable independiente), para obtener la curva de demanda tradicional (con la demanda en el eje X y el precio en el eje Y):

$$P(x)= - \frac 1b x +\frac ab$$ .

(3) Utilizo la versión de cálculo de la función de elasticidad, es decir, :

$$ \epsilon_{\small P}= \frac {\mathit dD(P)} {\mathit dP} \times \frac {\mathit P} {\mathit D}$$

que (al parecer) debería dar lugar a

$$ \Large\epsilon(x) = D'(x) \frac {P(x)}{Q(x)}$$

y finalmente ( ya que $D'(x)=-b$ aquí)

$$ \Large\epsilon(x) = -b \frac {P(x)}{Q(x)}$$ .

Pero, como he dicho más arriba, el gráfico de mi supuesta función de elasticidad no parece familiar.

En particular, me parece que la elasticidad debería ser igual a $1$ para el valor X del punto medio de la curva de demanda.

Desmos ( https://www.desmos.com/calculator/fp7elscgtq ) :

Answer 1

El gráfico no es correcto para sus parámetros $a=9.3$ y $b=1.5$ La elasticidad será igual a 1 (en valor absoluto) en el precio:

$-1 = -1.5 \frac{P}{Q(P)} \implies -1 = -1.5 \frac{P}{9.31.5P} \implies P \approx 3.1$ . Se supone que al precio de 3,1 la cantidad demandada es $Q=9.3-1.5P=4.65$ Si las curvas verdes son la elasticidad cruzan claramente el punto $(4.65,3.1)$ en ninguna parte.

Para trazar esto correctamente también hay que resolver la fórmula de elasticidad para $P$ en función de $Q$ por lo que hay que trazar:

$$P = -\frac{1}{b} \frac{Q}{\epsilon} \implies P= -\frac{1}{1.5} \frac{Q}{-1.5 \left(\frac{P}{9.31.5P}\right)} $$

y luego graficar esto, sin embargo se obtendría un gráfico sin sentido (o para ser más específicos el gráfico sería una sombra de la elasticidad proyectada en el espacio (Q,P), pero tal sombra no tiene interpretación y no es informativa ya que no se puede saber cuál es la elasticidad a partir de ella). La elasticidad no es ni precio ni cantidad, por lo que es imposible representarla en el mismo gráfico 2D que la cantidad y el precio; es necesario añadir al menos una dimensión adicional.

Si quieres trazarlo correctamente puedes utilizar R :

library("plotly")
p<-(1:10)
demand = =9.3-1.5*p
elasticity = -1.5 *(p/(9.31.5*p))

fig<-plot_ly(x=demand, y=p, z=0, type="scatter3d", mode="lines") %>% add_trace() 
fig %>% add_trace(x=0, y=p, z=elasticity, type="scatter3d", mode="lines")

Me olvidé de etiquetar los ejes pero $x$ es la cantidad, $y$ precio y $z$ elasticidad. La demanda es de color naranja la elasticidad es de color verde.

Podemos comprobar que la imagen anterior es correcta trazando todas las combinaciones de $P,Q, \epsilon$ . El gráfico no tiene una granularidad elevada (he generado $P$ en el incremento de 1) pero se puede ver que en $P\approx 3$ , $Q\approx4.65$ y $\epsilon \approx -1$ exactamente como hemos calculado anteriormente. Por lo tanto, estos gráficos son correctos.

PD: También el precio no es función de $x$ en la fórmula de la elasticidad. Además, $x$ no puede ser al mismo tiempo precio y cantidad, se utiliza para todas las variables.