El equilibrio de Nash subjuego perfecto cuando hay un empate en los pagos parece problemático

Question

Mi pregunta se desprende de esta pregunta: https://math.stackexchange.com/questions/2132846/game-theory-subgame-perfect-nash-equilibrium-in-a-sequential-game-with-identica de Maths stackexchange.

Basándome en la explicación dada en la respuesta, intenté encontrar el equilibrio de Nash subjuego perfecto (SPNE) de otro juego:

Aquí, hay 2 jugadores, y ambos tienen que elegir entre A y B. El jugador 1 mueve primero, seguido por el jugador 2.

Definamos las estrategias de los jugadores como $(p_1, p_2)$ donde $p_1$ y $p_2$ son las probabilidades de que el jugador 1 y el jugador 2 elijan A, respectivamente.

En el subjuego de la parte inferior izquierda, el análisis es sencillo: el jugador 2 elegirá A porque le da una mayor recompensa.

En la parte inferior derecha, el jugador 2 se enfrenta a resultados idénticos, por lo que cualquier $p_2 \in [0, 1]$ es óptimo. Dividimos las posibilidades en 3 casos:

1. $p_2 > 0.5$ : Aquí la recompensa esperada de elegir B para el jugador 1 es $2p_2 + (1-p_2)4 < 3$ Por lo tanto, el jugador 1 elegirá A. Esto nos da el SPNE $(p_1, p_2) = (1, 1)$ .

2. $p_2 < 0.5$ : Aquí la recompensa esperada de elegir B para el jugador 1 es $2p_2 + (1-p_2)4 > 3$ Por lo tanto, el jugador 1 elegirá B. Esto nos da una familia de equilibrios: $(0, p_2), p_2 \in [0, 0.5)$ .

3. $p_2 = 0.5$ : En este caso, la recompensa esperada de elegir B para el jugador 1 es $2p_2 + (1-p_2)4 = 3$ la recompensa de elegir A. Por lo tanto, cualquier $p_1 \in [0, 1]$ es óptima. Esto nos da otra familia de equilibrios: $(p_1, 0.5), p_1 \in [0, 1]$ .

Esto me lleva a mi primera pregunta:

Pregunta 1: ¿Es correcta mi caracterización de los SPNEs? Es decir, ¿todos los equilibrios mencionados anteriormente son realmente SPNEs? Y también, ¿hay otros SPNE que se me hayan escapado?

Si la respuesta a "son todos realmente SPNEs" es sí entonces creo que hay un problema con la familia de equilibrios del punto 2. Con la condición de que el jugador 1 elija B Por supuesto, todos los $p_2 \in [0, 1]$ son óptimos incluyendo todos los $p_2 \in [0, 0.5)$ . Pero el jugador 2 sabe que la elección de cualquier $p_2 < 0.5$ significaría que el jugador 1 elige B, y el jugador 2 termina con la recompensa 1. Pero si en cambio elige $p_2 > 0.5$ puede estar segura de que el jugador 1 elige A y entonces el jugador 2 termina con la recompensa 4, que es mejor que la 1. Entonces, ¿por qué el jugador 2 elegiría $p_2 < 0.5$ ?

Esto me lleva a mi segunda pregunta:

Pregunta 2: Si $(0, p_2), p_2 \in [0, 0.5)$ no son SPNE, ¿qué ha fallado en mi análisis? ¿Falla la inducción hacia atrás en estos casos o he cometido un error? Por otro lado, si realmente son SPNEs, ¿existe algún refinamiento de SPNE, algún otro concepto de solución que sea inmune a mi objeción? ¿Dónde puedo leer sobre ellos?

Answer 1

Su análisis es correcto en principio, pero su notación no lo es. Una estrategia (de comportamiento) para un jugador en un juego de información perfecta tiene que especificar una distribución de probabilidad sobre las acciones para cada nodo de decisión de ese jugador. Dado que el jugador 2 tiene dos de esos nodos, uno izquierdo y otro derecho, con dos acciones posibles en cada nodo, sus estrategias pueden escribirse como pares $(p_2^L,p_2^R)$ de probabilidades de elegir $A$ en el nodo izquierdo y derecho, respectivamente. Los perfiles estratégicos se denominan entonces $(p_1,(p_2^L,p_2^R))$ . Los tres conjuntos de SPNEs vienen dados entonces por

1. $(1,(1,p_2^R))$ con $p_2^R>\frac12$ ,

2. $(0,(1,p_2^R))$ con $p_2^R<\frac12$ y

3. $(p_1,(1,\frac12))$ con $0\le p_1\le 1$ .

Su pregunta " ¿por qué el jugador 2 elegiría $p_2^R<\frac12$ ? " ya ha sido contestado por usted mismo: Porque condicionado a que el jugador 1 elija B es óptimo. Tenga en cuenta que su afirmación de que " si en cambio elige $p_2^R>\frac12$ puede estar segura de que el jugador 1 elige $A$ "no es cierto. Esto sólo se sostendría si el jugador 1 pudiera observar la elección del jugador 2 antes de decidiendo.