Presento un juego de comunicación - ¿Podríais hacer comentarios sobre mis supuestos, notación y propiedades que quizá no haya tenido en cuenta?

Question

Considero el siguiente juego de comunicación. Supongamos que tenemos $I$ jugadores y cada uno de ellos aprende una señal privada $s_i=(s_{i,1},s_{i,2},...,s_{i,k})$ , donde $k$ es finito y además, cada jugador $i$ aprende un nombre clave privado $l_i$ , que sirve como su "nombre" para referirse, en el juego. Imagina que $l_i$ es como un identificador único (entero positivo) para cada jugador $i$ tal que $l=(l_1,l_2,\cdots,l_i)\in L$ es el perfil de los identificadores y $L$ es de la misma dimensión con $I$ . El juego se desarrolla en tres rondas que constan de dos fases de conversación y una de juego.

1. En la primera ronda los jugadores hablan, enviando el siguiente mensaje $(l_i,s_{i,1},s_{i,2},...,s_{i,k})=(l_i,m_i)\in \mathbb{Z}_p^{k+1}$ que se interpreta en el sentido de que "soy jugador $l_i$ e informo que mi información privada es $s_{i,1}, s_{i,2}, ..., s_{i,k}$ ". El espacio de los mensajes $m_i\in \mathbb{Z}_p^k$ es el espacio de las señales de información veraz. Obsérvese que $\mathbb{Z}_p$ es el conjunto de enteros módulo $p$ , donde $p$ es un número entero primo positivo grande.
2. En la segunda ronda también hablan y después de recoger toda la información se responden mutuamente una acción mixta para jugar, que se modela en el siguiente sentido. Cada jugador $i$ aprenderá toda la distribución $m$ de mensajes y devolverá el mensaje $r_i=\pi_i\circ(1_{L}\times1_{M}\times g_i)$ tal que $\pi_i$ es una permutación, $1_L$ es la identidad en $L$ , $1_M$ la identidad en $M$ y $1_{L}\times1_{M}\times g_i:L\times M\to L\times M\times \Delta(A^i): (l,m)\to(l,m,g_i(l,m))$ . Denotamos $\Delta(A^i)$ con el perfil de las acciones mixtas enviadas por el palero $i$ al resto de los jugadores. Permutación $\pi_i$ sirve de encriptación para que cada $j$ aprenderá su propia coordenada y lo definiremos en la secuela. Para ser más precisos

$$\pi_i=\begin{pmatrix}(l_1,m_1) & (l_2,m_2) & \cdots & (l_j,m_j) & \cdots & (l_I,m_I)\\ g_1(l_1,m_1) & g_2(l_2,m_2) & \cdots & g_j(l_j,m_j) & \cdots & g_I(l_I,m_I)\end{pmatrix}$$

la representación anterior muestra que cada $(l_j,m_j)$ se asocia exactamente a un $g_i(l_j,m_j)$ que es una acción mixta que es instruida por el jugador $i$ como recomendación al jugador $j$ . También $g_i(l,m)$ es un vector de $|I|$ dimensión asumiendo que la recomendación $g_i(l_i,m_i)$ es el mensaje que se envía a sí misma.

3. En la tercera fase los jugadores juegan sus estrategias recomendadas en base a una mayoría honesta ya que son veraces al principio del juego, es decir, cada jugador $j$ reproducirá la recomendación de acuerdo con el mapa de decisiones $\tau_i:L\times M\times \Delta(A^j)\to \Delta(A_i)$ donde por $\Delta(A_i)$ denotamos el espacio de acciones mixtas del jugador $i$

$$\tau_i(l,m,g_j)=pr_i\circ\pi^{-1}_j$$

Para jugar el jugador de estrategia recomendado $i$ debe recibir la misma recomendación de la mayoría (excluyéndose a sí misma aunque su opinión por el mensaje que se envía a sí misma ayuda como esquema de vitrificación).

Se trata de una propuesta de juego que amplía el juego de Mecanismos universales $(1990)$ . Más concretamente, presento una pequeña ampliación de la prueba. Mis preocupaciones son las siguientes.

1. Defino $g_i$ como una función que toma como entrada un vector de $(l,m)\in\mathbb{Z}_p^{(k+1)}$ donde $p$ es un número entero primo positivo grande y $g_i\in\Delta(A^i)$ es un perfil de acciones mixtas (vector) de dimensión $I$ donde cada jugador $j$ aprenderá su propia coordenada por $i$ y también el jugador $i$ puede enviar un mensaje a sí misma (concretamente $g_i$ es de dimensión $|I|$ ). ¿Qué supuestos tengo que hacer para que como $g_i$ es inyectiva? Creo que aquí necesito examinar dos cosas, la primera la linealidad del perfil $g_i(l,m)\in\Delta(A^i)$ de estrategias mixtas que propone el jugador $i$ y que es 1-1.

2. Sólo quiero una opinión si alguno de vosotros ve que falta algo en mis supuestos o en la formalización en general.

P.D. Sé que no es tan detallado como debería ser, pero es lo mejor que puedo hacer escribir saber.

P.D. Por razones de formalización, asumo que el nombre de identificación de cada jugador $i$ es $l_i$ .

Answer 1

Mis pensamientos:

$1$ . Desde $g_i:\mathbb{Z}_p^{I(k+1)}\to\Delta(A^i)$ en esencia $g_i$ da la relación entre el espacio de mensajes con una distribución de probabilidad específica sobre $A$ que propone el jugador $i$ . Porque de todo el conjunto de distribuciones de probabilidad cada jugador $i$ propondrá sólo uno específico, existe una relación de uno a uno entre el $(l,m)$ espacio de mensajes con la estrategia propuesta $g_i(l,m)$ . Así, $g_i\in\Delta(A)=\{G:A\to[0,1]:\sum_{a\in A}G(a)=1\}$ , donde $\Delta(A)$ es el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre $A$ El $|A|-1$ simplex. Así, $g^i$ también es una estrategia correlacionada. No sé si hay otra forma de decir esto o de escribirlo de forma más concreta en términos matemáticos, así que cualquier comentario u otra idea será muy bienvenida.

$2$ . Desde el punto $1$ garantiza que $g_i$ es inyectiva, ¿podría hacer alguna otra suposición que incluya la linealidad sobre $g_i$ . Toma como entrada un vector y devuelve otro vector con una estrategia específica para ser jugada por cualquier jugador, pero esto no significa necesariamente que $g_i$ tiene que ser lineal en cualquier sentido para ser inyectiva, ¿no?