Supongamos que tenemos una SDE $$dX_t=\mu(X_t)dt + \sigma(X_t)dW_t$$ donde $\sigma>0$ y $W_t$ es un proceso de Wiener. ¿Existe una transformación $y(X_t)$ que hará que la dinámica del proceso transformado $Y_t=y(X_t)$ tienen una volatilidad constante?
Sí, se llama transformación de Lamperti. Este en particular el teorema 2, página 7, describe qué es la transformada de Lamperti.
Consideremos una función $f(X_t)$ . El lema de Ito da:
$$df(X_t)=\text{time terms}+f'(X_t)\sigma(X_t)dW_t$$
Ahora cualquier $f$ satisfactoria:
$$f'(X_t)\sigma(X_t)=\text{constant}$$
da una volatilidad constante para $f(X_t)$ . Resolver $f$ requiere especificar $\sigma(X_t)$ . Por ejemplo, y como señala Kermittfrog en los comentarios, cuando $\sigma(X_t)=\sigma X_t$ puede establecer $f(X_t)=\log(X_t)$ .
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
El caso (casi trivial) es, por supuesto $\mu(X)=\mu\times X$ y $\sigma(X)=\sigma\times X$ . Entonces, $y=\ln(X)$ produce un vol constante