Precio de mercado del riesgo ( $\lambda$ ) - Brigo y Mercurio

Question

En la página 52 de Interest Rate Models de Brigo y Mercurio se dice lo siguiente:

Precisamente, supongamos que el tipo instantáneo al contado evoluciona bajo la medida del mundo real $Q_0$ según $dr(t) = \mu (t, r(t))dt + \sigma(t, r(t))dW_0(t)$ , donde $\mu$ y $\sigma$ son funciones que se comportan bien y $W_0$ es un $Q_0$ -Movimiento browniano. Es posible demostrar (citan aquí a Björk 1997) la existencia de un proceso estocástico $\lambda$ de manera que si $$dP(t, T) = \mu^T (t, r(t))dt + \sigma^T (t, r(t))dW_0(t),$$ entonces $$(t) = \dfrac{\mu^T (t, r(t)) r(t)P(t, T)}{\sigma^T (t, r(t))}.$$ para cada vencimiento T, con $\lambda$ que puede depender de $r$ pero no en $T$ .

Luego pasan a la medida sin riesgo $Q$ mediante la definición de una derivada de Radon-Nikodym, y afirman que el proceso $r$ evoluciona bajo $Q$ según $$dr(t)=\Big[\mu(t, r(t)) \lambda(t) \sigma (t, r(t)) \Big]dt + (t, r(t))dW(t).$$

Creo que sé cómo funciona el cambio de medida de Girsanov, o al menos soy capaz de seguirlo cuando se trata de subyacentes de acciones. Sin embargo, no soy capaz de ver dónde está el $P(t,T)$ en la definición viene, y por qué afirman $\lambda(t)$ depende sólo de $t$ y no en ambos $t$ y $T$ . Además, en la página 80 de Björk (Proposición 3.1) aparece lo siguiente, mientras discuten las carteras localmente libres de riesgo:

$$\dfrac{\alpha_T(t) - r(t)}{\sigma_T(t)} = \lambda(t),$$ es válida para todos los $t$ y para cada elección de tiempo de maduración $T.$

Así que, aparentemente, la definición de $\lambda(t)$ depende de la madurez.

Agradecería que alguien me ayudara a aclarar un poco esto. Gracias.

Answer 1

De Bjork, 2004, Arbitrage Theory in Continuous Time, Ch. 21 Short Rate models: El precio de un bono con vencimiento $T$ puede verse como una función de la tasa corta $r_t$ : $p(t,T)=F(t,r(t); T)$ . Aplica el lema de Ito en esto. Se obtiene un montón de términos que pueden ser recogidos en un término de deriva (multiplicando $dt$ ) y una difusión. Al cambiarles el nombre $\mu^T$ y $\sigma^T$ se obtiene la dinámica del precio de los bonos. Ahora imagine que hace esto para 2 bonos con diferentes vencimientos, es decir $T$ y $S$ y que quieres construir una cartera sin riesgo $V$ combinando estos dos. Dicha cartera estará definida por $w_T\sigma_T+w_S\sigma_S=1$ donde $w_T+w_S=1$ son el peso de la cartera. La primera condición es necesaria para tener una cartera sin riesgo (esencialmente: difusión cero). Ahora, resolvemos el sistema y volvemos a introducir la solución en la dinámica de $V$ . Poniendo su deriva a cero (no-arbitraje), se obtiene entonces que

$$\frac{\alpha_S\sigma_T-\alpha_T\sigma_S}{\sigma_T-\sigma_S}=r(t), \; \forall t$$ o, alternativamente, que:

$$\frac{\alpha_S-r(t)}{\sigma_S}=\frac{\alpha_T-r(t)}{\sigma_T}$$

La última línea coincide con su $\lambda(t)$ . Esto dice que el precio de mercado del riesgo debe coincidir entre los bonos con diferentes vencimientos y, por lo tanto, en última instancia, no depende del vencimiento. En otras palabras: si se calcula el precio de mercado del riesgo utilizando los datos de un bono con vencimiento $T$ Entonces lo tienes también para un bono con vencimiento $S$ . Espero que esto ayude