Integral del movimiento browniano wrt. tiempo sobre [t;T]

Question

Del puesto Integral del movimiento browniano con respecto al tiempo tenemos un argumento para

$$\int_0^t W_sds \sim N\left(0,\frac{1}{3}t^3\right).$$

Sin embargo, ¿cómo se generaliza esto para el intervalo $[t;T]$ ? Es decir, ¿cuál es la distribución de

$$\int_t^T W_sds.$$

Yo esperaría que fuera $$\int_t^T W_sds \sim N\left(0,\frac{1}{3}(T-t)^3\right),$$

pero no veo por qué.

Answer 1

La última integral es correcta ya que

$$\int_t^T W_s ds = \int_t^T (T-s) dW_s \sim N\left(0, \int_t^T(T-s)^2ds\right) = N\left(0,\frac{1}{3}(T-t)^3\right).$$

Ref. Teoría del arbitraje en tiempo continuo (Björk, 4ª edición)