Esta es una pregunta de entrevista: Imagine que tiene una opción con doble barrera de exclusión: el punto actual es 100, la barrera inferior es 80 y la superior es 120. La barrera es continua, lo que significa que una vez que el spot sale del rango de 80-120 en cualquier momento antes del tiempo de vencimiento, no tienes nada. Si el spot se mantiene dentro del rango 80-120 todo el tiempo antes del vencimiento de la opción, se le pagará una cantidad fija de 10 como pago final. La pregunta es, si necesita valorar esta opción, ¿qué modelo de volatilidad dará un precio de opción más alto? ¿La volatilidad local o la volatilidad Stoch? ¿Por qué? El entrevistador dijo que es el Stoch vol da un precio de opción más alto, pero no entendí la razón. ¿Alguien sabe por qué?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para simplificar las cosas, empecemos por considerar una opción de un toque (que paga en efectivo si se toca la barrera) en lugar de la opción doble sin toque de la pregunta. Además, supongamos que el tipo de interés y la rentabilidad de los dividendos son cero.
Y antes de empezar, podemos recordar que se nos da una superficie de volatilidad al principio. Entonces, tanto los modelos de volatilidad local como los estocásticos valorarán igual las vainillas y los digitales.
Como dm63 señaló, una cobertura aproximada para el one touch es un digital con strike igual al nivel de la barrera, y el doble del nocional. En el momento en que la barrera toca, el digital vale alrededor del 50% de su nocional, es decir, el 100% del nocional del one touch. En el momento en que la barrera se toca, la cobertura digital debe deshacerse.
En la práctica, esto no es una cobertura perfecta por dos razones. En primer lugar, en un mundo log-normal, un digital at-the-money no vale exactamente el 50%. Esto se soluciona fácilmente añadiendo una opción vainilla a la cobertura que corrija exactamente este hecho.
La segunda y más interesante razón es que una opción digital tiene una corrección de su valor Black-Scholes igual a menos su vega Black-Scholes, multiplicada por la derivada de la volatilidad implícita (at the money) con respecto al strike (en adelante, el "skew").
El resultado es que el valor del toque en el momento del toque se puede replicar a partir de una digital y una vainilla (cuyos valores son independientes del modelo) más una constante multiplicada por el valor esperado de la inclinación en el momento del toque.
En un modelo de volatilidad estocástica, la sonrisa tiende a flotar cuando el spot se mueve, lo que significa que el sesgo at-the-money se mantiene constante. En un modelo de volatilidad local, la sonrisa tiende a mantenerse en el espacio del strike cuando el spot se mueve. Como la sonrisa es convexa y el at-the-money está cerca del fondo al principio, esto significa que el sesgo aumenta en magnitud. Si se tiene cuidado con el signo del factor que multiplica el término de sesgo, se obtiene el resultado.
Es importante tener en cuenta que esto no es una prueba matemática, y he oído hablar de ejemplos contrarios. Sin embargo, para todos los casos prácticos, parece ser cierto.
En el capítulo 9 del libro se detallan todos los detalles del cálculo anterior, así como los supuestos realizados Explicación de los precios de las sonrisas .
Volviendo a la pregunta concreta, tenemos que un toque más ningún toque es igual a efectivo. Entonces, como un one touch es mayor en vol local, un no touch es menor en vol local y mayor en vol estocástico. Los tipos de interés deterministas y la rentabilidad de los dividendos pueden incluirse de nuevo con bastante facilidad. Por último, se nos pide que confiemos en que el comportamiento del modelo de un doble no touch es similar al de un no touch. Lo es, y de hecho, depende mucho más del modelo que un no touch simple. Incluso en una superficie de volatilidad FX relativamente modesta, el precio de un doble no touch puede variar en un factor de dos según el modelo.
Por último, cabe mencionar que tanto los swaps de volatilidad como los acuerdos de volatilidad a plazo (opciones vainilla de inicio a plazo) se valoran más en volatilidad local que en volatilidad estocástica. Para el swap de volatilidad, existe una hermosa prueba (debida a Dupire) en el caso muy especial de un swap de volatilidad "instantáneo".
Soy más de tipos que de renta variable, pero lo intentaré: en primer lugar, se supone que ambos modelos han sido calibrados para que las opciones vainilla en todos los strikes y vencimientos estén alineados, de lo contrario la pregunta no tiene sentido. Dado que las opciones digitales europeas son el límite de los diferenciales de las llamadas europeas, también debe ser cierto que las opciones digitales europeas en todos los vencimientos son las mismas en ambos modelos. Por ejemplo, el precio de una call digi 120 es el mismo en ambos modelos. Además, existe un resultado bien conocido debido al teorema de la reflexión, que el precio de una call digital americana es (bajo condiciones de no deriva al menos (r=q)), igual al doble del valor de una call digital europea, bajo cualquier modelo. Por lo tanto, la única call de 120 y la única put de 80 deben ser iguales bajo ambos modelos. Por lo tanto, si hay una diferencia en el precio de la opción de doble knockout en la OP, debe ser porque hay una diferencia entre los 2 modelos en la probabilidad de golpear AMBAS barreras.
¿Por qué debería ser así? La lógica que propongo sería suponer que bajo alguna trayectoria del subyacente, hemos alcanzado una de las barreras (digamos la de 120). Entonces, afirmo que la probabilidad de alcanzar más tarde la barrera de los 80 (dado que ahora mismo estamos en los 120) es mayor bajo el modelo de volatilidad local. ¿Por qué? porque bajo ese camino, esperamos que las volatilidades implícitas hayan subido (porque esa es la forma en que un modelo de vol local explica la sonrisa). Por el contrario, en un modelo de volatilidad estocástica, la vol puede haber subido o bajado porque está impulsada por una variable aleatoria independiente. Por lo tanto, en un modelo de vol. local, es más probable que se alcancen ambas barreras, por lo que el doble no touch vale menos.
Aquí asumí que tenemos una típica sonrisa positiva en el subyacente. Estoy feliz de ser corregido por un profesional de la renta variable o fx.
EDIT: Me corrijo por el comentario de @Peter A. A continuación doy un enlace con lo que parece ser una explicación coherente con su comentario.
http://www.matthiasthul.com/wordpress/2015/06/26/stochastic-vs-local-volatility-barrier-options/#:~:text=Consecuentemente%2C%20ellos%20también%20estándeacuerdo%20en,golpear%20probabilidades%20que%20generan .
