¿Por qué algunos libros de texto de teoría de juegos exigen explícitamente que las relaciones de preferencia sean reflexivas?

Question

Una relación binaria sobre un conjunto de resultados se denomina relación de preferencia si es completa y transitiva. La completitud implica, por supuesto, la reflexividad. Pero los autores de algunos libros de texto de teoría de juegos añaden la reflexividad como adicional en su definición de relación de preferencia. (El ejemplo que sigue es de Maschler, Solan y Zamir (2013) .) ¿Por qué lo hacen?

Answer 1

Dado que la exhaustividad implica reflexividad, no puede haber una razón extremadamente fuerte. Pero aquí hay algunas:

1. Los estudiantes nuevos en el lenguaje de las matemáticas no siempre aprecian que "un par de resultados $x,y$ "puede consistir en un único resultado, el caso en que $x=y$ ,

2. A veces, uno puede querer debilitar una teoría. Por razones estéticas, uno puede preferir eliminar algún axioma por completo en lugar de sustituirlo por una alternativa más débil. Ciertamente, hay cierto interés en las relaciones que son reflexivas pero no completas como modelo de preferencias. Aumann tiene un artículo sobre Teoría de la Utilidad sin el Axioma de Completitud en el que deja caer la completitud pero no la reflexividad.

3. La terminología no es uniforme, algunos autores utilizan la completitud para las relaciones en las que dos elementos distintos son comparables. También hay términos alternativos que pueden significar lo mismo o no, como total o conectado .

4. Las definiciones redundantes no son tan raras y no molestan a todo el mundo. Tanto Royden como Dieudonné definen los espacios métricos en sus famosos libros de texto de análisis de forma redundante; la no negatividad se deduce de las demás condiciones.

Answer 2

Al menos en el caso del ejemplo que he presentado, ahora puedo responder yo mismo a la pregunta. Acabo de preguntar a Eilon Solan, uno de los autores. Me ha respondido:

[...] Pensamos que es útil añadirlo por razones pedagógicas, pero quizás para algunas personas sea confuso.

Answer 3

Por ejemplo, qué se hace con la posibilidad de una relación vacía (no hay y).

La exhaustividad, tal y como se ha definido anteriormente, consiste en afirmar que

para cualquier par x e y....

Sin embargo, si no existe ese par, ¿qué se hace con x sola?

Erwin Kreyszig escribe en la página 241 en el contexto del análisis funcional que

La completitud no implica reflexividad, pero a la inversa, si una norma es reflexivo, es completo (por tanto, un espacio de Banach).

El Enciclopedia Stanford de Filosofía afirma que

La integridad se mantiene si tanto la conectividad débil como la reflexividad de indiferencia se mantienen.