Modelo macroeconómico de dos periodos

Question

Este es el problema que me han planteado. Supongamos que la preferencia de los consumidores por el consumo actual y futuro viene dada por $U(c,c')=c^\frac{1}{2}*c'^\frac{1}{2}$ .
Supongamos además que no hay gobierno.
1) resolver las decisiones óptimas: $c,c$ y $s$ ?

Esto es lo más lejos que he llegado

$\max U(c,c')=c^\frac{1}{2}c'^\frac{1}{2}$
s.t. $c+\frac{c'}{1+r}=y+\frac{y'}{1+r}$
$c, c',s \ge 0 $

$L=c^\frac{1}{2}*c'^\frac{1}{2}+(c+\frac{c'}{1+r}-y-\frac{y'}{1+r})$

(1)derv de $c$ : $\frac{1}{2}c^{-\frac{1}{2}}*c'^\frac{1}{2}-=0 $
(2)derv de $c'$ : $\frac{1}{2}c^\frac{1}{2} c'^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{1+r}=0$
(3)( $$ ): $c+\frac{c'}{1+r}=y+\frac{y'}{1+r}$

Divide la ecuación 1 entre 2

$\frac{ \frac{1}{2}c^{-\frac{1}{2}}c'^\frac{1}{2}} {\frac{1}{2}c^\frac{1}{2}c'^{-\frac{1}{2}}}= \frac{}{\frac{}{1+r}}$ = $\frac{c'}{c}=1+r$

Agradecería si alguien pudiera dar alguna ayuda sobre cómo continuar para poder encontrar las decisiones óptimas para $c, c', s$

Answer 1

Todo lagrangiano con dos bienes tiene básicamente los mismos dos pasos. En primer lugar, hay que encontrar la relación óptima entre los dos bienes (a menudo mediante derivadas). En segundo lugar, introducir esa relación en la restricción presupuestaria para resolver cada bien.

Este problema no es diferente y esencialmente sólo has hecho el paso 1. Así que sólo tienes que hacer el paso 2.

La idea es que ahora tienes 2 incógnitas ( $c$ , $c'$ ), por lo que se necesitan 2 ecuaciones. Una ecuación es la relación que has encontrado entre el consumo de hoy y el de mañana a partir de las condiciones de primer orden. La segunda ecuación es la restricción presupuestaria (o ecuación 3, como la has llamado). Tu ecuación 3 aún no ha sido utilizada para resolver el consumo.

Introduciendo la ecuación de $c'$ que encontraste en tu ecuación 3 obtienes:

$c + \frac{c(1+r)}{1+r} =y+\frac{y'}{1+r}$

Así que $c= 0.5 *(y+\frac{y'}{1+r})$

Ahora introduce esta ecuación de nuevo en la relación que encontraste a través del lagrangiano, que era:

$c' = (1+r) c$ .

Entonces habrás terminado.