Matriz de covarianza para activos múltiples - Segundo intento

Question

Ok, por consejo de la administración abro una nueva pregunta, esperando que de esta manera quede más claro.

Como dije antes, estoy tratando de entender cómo los autores de este (página 76) y este (página 31) funciona llega a la condición $\left \| C(\widetilde{R}_1- \check{R}_1) \right \|\leq \Gamma$ con:

• $\Gamma \in \mathbb{R}^+$ es un parámetro predefinido cuyo valor refleja el grado de tolerancia al riesgo del inversor, pero a efectos de la pregunta no importa saber qué significa.

• $\widetilde{R}_1=\begin{bmatrix} \frac{\widetilde{S}_1^1}{S_0^1} & \frac{\widetilde{S}_1^2}{S_0^2} & \cdots & \frac{\widetilde{S}_1^M}{S_0^M} \end{bmatrix}^T$ representa el vector de rendimientos aleatorios para el primer período (es decir $t=1$ ) dado el precio actual de $m$ -a la acción incluida en la cesta subyacente de la opción multiactiva, para $m=1,...,M$ .

• $\check{R}_1=\begin{bmatrix} \frac{\check{S}_1^1}{S_0^1} & \frac{\check{S}_1^2}{S_0^2} & \cdots & \frac{\check{S}_1^M}{S_0^M} \end{bmatrix}^T$ representa el vector de rendimientos esperados para el primer período (es decir $t=1$ ) dado el precio actual de $m$ -a la acción incluida en la cesta subyacente de la opción multiactiva, para $m=1,...,M$ .

• $C=\sum^{-\frac{1}{2}}$ es una matriz obtenida (aún tengo que averiguarlo) aplicando la descomposición de Cholesky. El texto sólo dice que $C^TC=\sum^{-1}$ .

• $\left \| x \right \|$ es (cito de la página 31 segundo enlace que he insertado) una norma general de un factor, dependiendo de la preferencia del modelador, puede ser $L_1,L_2,L_{\infty}$ o $D$ -norma . Es lo único que dicen los autores al respecto, así que no puedo ser más específico. Pero antes encontré este papel ( Optimización lineal robusta bajo normas generales - Bertsimas,Pachamanova,Sim ) donde, en la página 513, parece explicarse el significado de $\left \| x \right \|$ . En particular, consideran (no sé en qué se basan) conjuntos de incertidumbre dados por $\left \| M(vec(\widetilde{A})-vec(\check{A})) \right \|_{p}\leq \Delta$ , y para la Proposición 1. página 512 dicen que $\left \| x \right \|_p\doteq (\sum_{j=1}^{n}\left | x_j \right |^p)^{\frac{1}{p}}$ con $M$ una matriz diagonal que contiene los inversos de los rangos de variación de los coeficientes.

Ahora bien, en esas circunstancias, me gustaría saber si mi razonamiento que sigue es correcto en su opinión. En realidad no se trata del significado matemático de la condición anterior sino de la razón que ha llevado a los autores a formalizarla. Esto es lo que pienso.

Sugieren, para considerar la correlación entre los precios de los activos incluidos en la cesta, estudiar la correlación entre los rendimientos de los activos. Evidentemente, la correlación debe cuantificarse entre cada $m$ -aquel activo incluido en la cesta (o más bien para cada pareja de activos en un conjunto de $m$ elementos, para un total de $\binom{m}{2}$ combinaciones sin repeticiones) y para cada $t$ -enésimo instante de tiempo. No es el caso de tener tal cantidad de información, además sujeta a incertidumbre, así que en lugar de construir la matriz de varianza-covarianza para cada $t$ [es decir, decir que se considera, para cada $t$ una por una, todas las posibles parejas de activos y para cualquier $j$ -a posible realización de los rendimientos de los activos (para $j=1,...,n$ y $n$ el tamaño de la muestra) calculando la suma de los productos cruzados de las desviaciones de las estimaciones de estas realizaciones] utilizan las propiedades de $\sum$ . Sabemos que $$ para cada $t$ es una matriz cuadrada simétrica y definida positiva, es decir, no singular, es decir, invertible, por lo que deberíamos poder calcular $\sum^{-1}$ para la descomposición de Cholesky (el primer documento dice que $\sum^{-1}=C^TC$ ) y luego, supongo, utilizar el teorema espectral para obtener la matriz diagonal en la condición anterior.

¿Es correcto mi razonamiento?

Gracias de antemano sólo por leer.

Answer 1

Aquí intento ayudar un poco con la cuestión de la norma matricial.

Supongamos que un $M$ -vector de retorno multidimensional normalmente distribuido $\widetilde{R}$ . La covarianza de estos rendimientos es $\Sigma$ y los rendimientos esperados son $\check{R}$ .

El función de densidad de probabilidad de $R$ es

$$ f(R;\check{R},\Sigma)=\left(2\pi\right)^{-\frac{M}{2}}\left|\Sigma\right|^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}\left(R-\check{R}\right)^T\Sigma^{-1}\left(R-\check{R}\right)} $$

Sabemos que los contornos de la densidad multivariante forman elipsoides (de mayor dimensión); es decir, una elipsis en el caso bidimensional de $M=2$ . El más pequeño estos elipsoides, más cerca estaremos, en cierto sentido, del vector de valores esperados.

En su caso, esto se puede demostrar descomponiendo primero la matriz de covarianza $\Sigma$ a través de la Descomposición Cholesky en $\Sigma=CC^T$ . La inversa de $\Sigma$ entonces se convierte en $\Sigma^{-1}=\left(C^{-1}\right)^TC^{-1}$ y con evidente mis uso de la notación escribimos ahora esto como $\Sigma^{-1}=C^TC$ . ahora podemos reescribir la exponencial de la densidad como

$$ \left(R-\check{R}\right)^T\Sigma^{-1}\left(R-\check{R}\right)=\left(R-\check{R}\right)^TC^TC\left(R-\check{R}\right) $$ Y como se trata de una forma cuadrática, podemos reescribir $$ =\left(R-\check{R}\right)^TC^TC\left(R-\check{R}\right)=\|C(R-\check{R})\|_2 $$

Por lo tanto, la condición $\|C(R-\check{R})\|\leq \Gamma $ puede interpretarse como una condición sobre la densidad de los rendimientos, es decir, sobre el tamaño del $M$ -elipsoide, en torno al vector de rendimiento esperado.